A
bel sinh ngày 5 tháng 8 năm 1802 tại nhà cha xứ Finnoy bên bờ biển phía Đông Nauy. Cha ông, một phó giám mục rất quan tâm đến con cái và giáo dục các con theo tư tưởng duy lý thời chủ nghĩa ánh sáng của châu Âu lúc bấy giờ.
Năm 1815 Abel vào học trường dòng tại Christiania (tên của Oslo lúc đó), ba năm sau ông đã chứng tỏ tài năng toán học của mình bằng những lời giải xuất chúng những bài toán do Bernt Holmboe đưa ra. Thời gian này, cha ông, một mục sư Tin lành nghèo, qua đời khiến gia đình Abel lâm vào hoàn cảnh cực kì khó khăn; song nhờ một khoản học bổng nhỏ đã giúp Abel vào học trường Đại học hoàng gia Frederick năm 1821.
Năm Abel 18 tuổi, ông học trung học tại thủ đô và đã tìm đến với toán học. Rất nhanh, Abel đã chứng tỏ một tài năng lớn trong lĩnh vực này và sau đó một năm, ông vào đại học. Ngay thời gian này ông đã bắt đầu công việc mà sau này trở thành thành công nổi tiếng của ông, đó là công trình trên phương trình bậc 5. Để tiếp tục học đại học, Abel tới Paris, nơi có một môi trường tốt nhất cho các nhà toán học lúc đó. Chính nơi đây, và cũng chỉ nơi đây ông mới có thể hoàn thiện được học vấn của mình. Tuy nhiên, lứa tuổi 19 được coi là quá trẻ để đi ra nước ngoài. Vì vậy, với học bổng đại học của mình, ông tự học.
Mùa hè 1825, ông được phép của trường đại học sang Pháp. Điều kiện duy nhất để được du học là ông phải qua Gottigen để gặp Gauss, ông hoàng của toán học thời đó. Tuy nhiên, đáng lẽ phải tới Gottingen thì Abel lại đi Berlin. Trong những ngày ngắn ngủi - sự kiện ngẫu nhiên nhất trong cuộc đời của Abel, ông gặp được kỹ sư August Léopold Crelle, một người đam mê toán học. Nhờ gặp được Crelle , Abel đã dũng cảm thực hiện một dự án nung nấu từ lâu là xuất bản một tạp chí toán học ở Berlin để có thể cạnh tranh với các tạp chí uy tín ở Pháp lúc đó. Số đầu tiên của tạp chí toán học thuần túy và toán ứng dụng được xuất bản đầu năm 1826. Phần lớn những gì mà Abel viết ra đã được xuất bản trên những trang báo này. Công trình đầu tiên đáng chú ý của Abel là căn thức của phương trình bậc 5. Công trình này lần đầu được xuất bản năm 1824 dưới một dạng rất khó hiểu, sau đó năm 1826 được viết đầy đủ hơn trong Tạp chí Crelle. Bài toán này về sau được Évariste Galois chứng minh lại và bổ sung rất nhiều.
Abel tới Paris tháng 2 năm 1826 (có tài liệu nói Abel lên đường tới Paris tháng 3 năm 1826 nhưng ông còn lưu lại ở nhiều nơi, phải đến mùa hè năm 1826 Abel mới đến Paris). Cuốn tiểu luận được ông trình lên Viện Hàn lâm và ông phải trải qua 3 tháng lang thang khắp thành phố. Có rất ít tư liệu ghi chép về thời kỳ ở Pháp này của Abel.
Tại Paris, Abel không dự các buổi giảng của Cauchy ở trường Bách khoa hoặc ở Sorbonne. Ngược lại, ông giành nhiều thời gian cho các buổi gặp gỡ và người ta thấy sự táo bạo trong các ghi chép của ông: Legendre là một “người lịch sự một cách khác thường nhưng tiếc là ông ta đã quá già”. (Lúc này Legendre đã 74 tuổi) còn Poisson thì “có một cái bụng hơi phệ và dáng đi bệ vệ”. Cũng như vậy đối với Fourrier, thư ký viện Hàn lâm. Về Cauchy, người được Abel xem như một nhà toán học lớn nhất Paris, Abel viết: “Cauchy là một con chiên rất sùng đạo, điều này đối với một nhà toán học có vẻ gì đó rất bất bình thường”.
Sau lễ Noel ở Paris, nghèo khổ và thất vọng, Abel trở về nhà. Trong một lần khám bệnh do bị ho và sốt, bác sĩ thông báo: Abel bị lao phổi... Trên đường trở về Abel ghé qua Berlin. Crelle đề nghị Abel làm biên tập viên trong tạp chí của ông nhưng Abel không chấp nhận.
Chuyến đi của Abel tới Paris đã thất bại. Không có gì được công bố ở Paris, Abel đã không đến gặp Gauss vĩ đại. Những bài báo của ông được in trên một tạp chí ở Berlin nhưng đáng tiếc, đây là một tờ báo chưa có tên tuổi. Trường đại học đã đóng cửa trước mặt Abel. Không nghề nghiệp, không thu nhập nhưng Abel đã dành hết thời gian của mình để dịch các bài báo sang tiếng Pháp. Abel làm việc cật lực trong những cơn sốt xen kẽ những lúc nằm bẹp trên giường.
Tháng 12 năm 1828, ông rời thủ đô và đi tìm người vợ chưa cưới lúc này đang làm quản gia tại một làng nhỏ hẻo lánh. Buổi khiêu vũ ngày Noel đã trở thành định mệnh với ông. Sau khi nóng người bởi điệu nhảy vui nhộn, ông tới ban công ngồi hóng mát. Ngày hôm sau, ông bắt đầu ho ra máu. Trong 12 tuần lễ nằm liệt giường, những lúc thấy khỏe đôi chút, ông cố gắng viết được khoảng hai, ba trang giới thiệu về cuốn tiểu luận của ông ở Paris.
Bệnh của Abel ngày càng trầm trọng. Theo các nhân chứng, ông ra đi rất nhanh, không trăng trối lại điều gì. Đó là ngày 6 tháng 4 năm1829.
Sau đó, ngày 8 tháng 4, Legendre viết thư thông báo cuốn tiểu luận Paris của Abel đã được tìm thấy. Cùng lúc đó, ở Berlin, Crelle đã viết thư cho Abel, thông báo tìm được một công việc cho ông. “Chắc chắn từ bây giờ ngài có thể đảm bảo được tương lai của mình. Ngài sẽ làm việc cùng chúng tôi và cuộc sống sẽ được ổn định”. Bức thư kết thúc bằng câu: “Đây là một đất nước có khí hậu phù hợp với ngài. Tại đây, ngài sẽ tiếp cận với khoa học và tình bạn thực sự, với những người đánh giá cao và yêu mến ngài’’.
Tin về cái chết của Abel, đã gây ra những phản ứng rất mạnh mẽ. Viện Hàn lâm Khoa học Paris đã trao giải thưởng 1830 cho toàn bộ các công trình của ông và nhà toán học người Đức Carl Jacobi, người có các công trình với các chủ đề tương tự. Rất nhiều người trong đó có Legendre, Poisson, Lacroix và Maurice đã gửi đề nghị tới nhà vua Na uy và Thụy Điển Karl Johan cũng như viên tướng người Pháp Jean-Baptiste Bernadotte để yêu cầu cho phép công bố các công trình và các bản viết tay của Abel. Nhờ vậy, các công trình của ông đã được xuất bản bằng tiếng Na uy và tiếng Đức, sau đó được dịch sang tiếng Pháp. Abel nhanh chóng có một vị trí “ngôi sao” trong làng khoa học quốc tế.
Tiếp đó, Francois Raspail đã đưa ra Quốc hội vấn đề về số phận bi thảm của Niels Henrik Abel. Nhà toán học người Nauy này, chết ở tuổi 26 đã trở thành hình mẫu của một nhà khoa học trẻ không được những người đi trước thừa nhận khi còn sống. Tên của Abel vẫn tiếp tục được nhắc tới với công trình của ông, kể cả sau khi ông qua đời. Khi gửi một tiểu luận lên Viện Hàn lâm khoa học Paris năm 1826 (cuốn tiểu luận này đúng ra là một cuốn hồi ký, mang tên “Hồi ký về các tính chất tổng quát của một lớp rất rộng các hàm siêu việt”), ông không biết rằng nó sẽ được đón chào như thế nào vào thời điểm công bố một năm sau khi ông mất. Người ta cũng không biết rằng phần thiếu của cuốn tiểu luận trên giờ vẫn là một điều huyền bí.
Tất cả bắt đầu bằng một sự lãng quên. Cauchy, một trong hai viện sĩ Hàn lâm được giao trách nhiệm đánh giá cuốn tiểu luận của Abel đã để quên tiểu luận này trong ngăn kéo. Khi người đánh giá thứ hai, Lengendre đọc được nội dung tiểu luận này vào thời điểm hai năm rưỡi sau đó, ông đã thừa nhận ngay lập tức dấu ấn của một nhà toán học lớn. Với một tầm nhìn rất rộng, Abel đã táo bạo đi từ các hàm elip cho tới lý thuyết các hàm đại số. Đồng thời ông cũng mở ra viễn cảnh lúc đó còn rất xa lạ trên mối quan hệ kết nối đại số, giải tích và hình học. Một tài năng lớn được phát hiện nhưng đáng tiếc lúc đó ông vừa mới qua đời.
Ngay từ năm 1830, viện Hàn lâm đã có ý định xuất bản cuốn tiểu luận này. Nhưng cũng vào năm đó, Fourrier, thư kí viện Hàn lâm qua đời. Chính vì vậy, dự định xuất bản cuốn sách bị gác lại. Sau đó viện đã giao cho Cauchy và Lengendre xem xét. Sau cuộc cách mạng tháng 7, Cauchy do không chấp nhận việc từ bỏ lòng trung thành với Louis Philippe đã buộc phải đi tị nạn. Lengendre về phần mình cũng mất tích năm 1833. Bản viết tay của cuốn tiểu luận bị lẫn trong số các tư liệu của viện Hàn lâm và năm 1839, cuốn tiểu luận đã không nằm trong số toàn bộ các công trình của Abel được công bố lần đầu tiên.
Cuối cùng, năm 1841 nó đã xuất hiện trở lại trong tạp chí “Tưởng niệm các nhà khoa học nước ngoài” nhờ Libri, một giáo sư gốc Ý ở Paris, người đã được giao việc xuất bản các tác phẩm của Abel và sửa các lỗi trong đó. Libri đam mê Abel đến mức xuất bản cả tiểu sử của nhà toán học trẻ tuổi này vào năm 1834.
Tuy nhiên, chính Libri cũng là người chịu trách nhiệm về việc đánh mất một lần nữa bản thảo cuốn tiểu luận này. Lần này thời gian biến mất của nó còn lâu hơn cả lần trước đó. Trong khi chuẩn bị tái bản lần thứ hai với các công trình đầy đủ hơn của Abel, người ta lại không tìm thấy bản thảo của cuốn tiểu luận thần bí. Là người đọc rất nhiều sách, Libri được giao nhiệm vụ liệt kê danh sách những bản thảo hiếm lưu lạc trong các thư viện của các tỉnh, các lâu đài, các nhà thờ và các trường học. Nhưng có những tin đồn ông ta đã đánh cắp và biển thủ các bản viết tay này. Libri là nhà sưu tập lớn các bản thảo viết tay quý hiếm đồng thời cũng là “doanh nhân” mua đi bán lại nhiều tài liệu trong cả châu Âu. Ít lâu sau cuộc cách mạng tháng 2 năm 1848, nhất cử nhất động của ông ta đều bị theo dõi vì người ta nghi ngờ ông ta đã “lấy”những hồ sơ lưu trữ nằm ở viện Hàn lâm. Libri đã trốn sang Anh tị nạn và bị kết án 10 năm tù vắng mặt. Từ Anh, ông ta tiếp tục sống bằng việc bán các bản thảo trong đó có cả những bản thảo trước thế kỷ XIII. Ông trở lại Florence, thành phố quê hương của ông mang theo hơn hai tấn giấy nhưng cái chết đã không để ông kịp sắp xếp lại chúng. Bộ sưu tập của ông ta do đó bị thất tán tứ tung.
Chính vì thế mà “Cuốn tiểu luận Paris” đã lưu lạc tới thư viện Moreniana ở thành phố Florence. Nó được nhà toán học Nauy Viggo Brun phát hiện năm 1952 nhưng đáng tiếc là bản thảo bị mất 8 trang. Năm 2001, 4 trang bị mất được công bố và việc tìm kiếm 4 trang còn lại vẫn đang tiếp tục...
Trong những năm tháng ngắn ngủi của cuộc đời mình, Abel có nhiều nghiên cứu xuất chúng về lý thuyết hàm số: hàm số elliptic, hàm số hyperelliptic, và một lớp mới bây giờ được biết đến như là hàm số abelian. Dưới sự dẫn giải của ông, những điều khó hiểu trong giải thích đã sáng tỏ dần, nhiều ngành mới được mở ra và sự nghiên cứu các hàm số ngày càng phát triển, cung cấp cho các nhà toán học nhiều công cụ để đẩy mạnh sự tiến triển của ngành. Các công trình của ông, phần lớn xuất hiện lần đầu tiên trong Tạp chí của Crelle, được Holmboe biên khảo lại và được xuất bản vào năm 1839 do nhà nước Na Uy đứng ra chịu trách nhiệm, tiếp đó là một bản hoàn hảo hơn do Ludwig Sylow và Sophus Lie biên khảo, được xuất bản năm 1881. Tính từ “abelian”, xuất phát từ tên ông, đã trở nên thông dụng trong các bài báo và sách toán đến nỗi người ta thường viết bằng chữ “a” thường (xem nhóm abelian và abelian category; xem thêm abelian variety và phép biến đổi Abel).
Để ghi nhớ công lao của Abel, ngày 5 tháng 6 năm 2002, bốn tem Nauy được phát hành để kỉ niệm 200 năm ngày sinh của ông. Có một bức tượng của Abel ở Oslo. Hố Abel trên Mặt trăng được đặt theo tên ông. Vào năm 2002, giải Abel đã được thiết lập để vinh danh ông.