P
ierre de Fermat sinh này 20 tháng 8 năm 1601 tại Pháp. Ông là một học giả nghiệp dư vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án. Ông vô cùng say mê môn toán. Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập sách dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat (định lý cuối cùng của Fermat).
Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic. Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm. Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học.
Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả to lớn như vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat lúc sống không thể lấy việc nghiên cứu toán làm nghề chính thức.
Câu chuyện về định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện “độc nhất vô nhị” trong lịch sử toán học thế giới, khởi nguồn từ cổ đại với nhà toán học Pythagore. Bài toán cuối cùng (sau này giới toán học gọi là Định lý cuối cùng của Fermat, hay Định lý lớn Fermat) có gốc từ định lý Pythagore: “Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông”. Fermat thay đổi phương trình Pythagore và tạo ra một bài toán khó bất hủ.
Xét phương trình Pythagore:
x2+y2=z2
Người ta có thể hỏi những nghiệm số nguyên của phương trình này là gì, và có thể thấy rằng:
32+42=52
và:
52+122=132
Nếu tiếp tục tìm kiếm thì sẽ tìm thấy rất nhiều nghiệm như vậy. Fermat khi đó xét dạng bậc ba của phương trình này:
x3+y3=z3
Ông đặt câu hỏi: có thể tìm được nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba này hay không? Ông khẳng định là không. Thực ra, ông khẳng định điều đó cho phương trình tổng quát:
xn+yn=zn
trong đó n lớn hơn 2 không thể tìm được nghiệm (nguyên) nào. Đó là Định lý Fermat cuối cùng.
Điều lý thú ở đây là phỏng đoán này được Fermat ghi bên lề một cuốn sách mà không chứng minh, nhưng có kèm theo dòng chữ: “Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh cho trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp”.
Các nhà toán học đã cố gắng giải bài toán này trong suốt 300 năm. Trong lịch sử đi tìm lời giải cho định lý cuối cùng của Fermat có người đã tự tử vì bài toán ấy... Và cuối cùng nhà toán học Andrew Wiles (một người Anh, định cư ở Mỹ, sinh năm 1953) sau 7 năm làm việc trong cô độc và một năm giày vò trong cô đơn đã công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa hè năm 1993 và sửa lại năm 1995, với lời giải dài 200 trang.
Có thể nói, người ta biết nhiều đến Fermat qua việc làm cùng các công trình nghiên cứu của ông và sự giao dịch giữa ông với những nhà trí thức đồng thời với ông. Vào thế kỷ XVII, đã có một sự phát triển nhanh chóng về khoa học và văn hóa, đưa đến nhiều phát minh trong đó có những khám phá của Fermat. Tuy nhiên thế giới khoa học lúc đó chưa được tổ chức, chưa có nghề chuyên về toán học. Fermat cũng như những nhà thông thái đồng thời với ông khi đó, không phải là một nhà toán học chuyên nghiệp. Phần lớn những người say mê toán học là những người ở trong ngành luật:
Viete là một luật sư, Despagnet là nghị viên trong Nghị viện thành phố Bordeaux. Còn Carcavi, con một chủ ngân hàng, đang mới vào làm nghị viên trong Nghị viện thành phố Toulouse. Tại đây, Carvani đã làm quen với Fermat, và hai người đã trở thành bạn tâm giao suốt cuộc đời của họ.
Năm 1632, lần đầu tiên Fermat gặp Pierre de Carcavi, một cố vấn khác của Pháp viện Toulouse mà ông đã chia sẻ niềm say mê toán học. Fermat đã cùng với Carvani và Mersenne giải những bài toán về sự rơi các vật mà Galilée đã đưa ra. Không phải lúc nào Fermat cũng luôn luôn đồng ý với René Descartes: Descartes giải bằng hình học còn Fermat đi trực tiếp bằng phương trình đại số để vẽ đường cong.
Fermat đã có những công trình về toán giải tích dựa trên căn bản toán vi phân mà Isaac Newton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) đã tiếp nối sau đó. Fermat đi sát tới khái niệm về đạo hàm để tìm điểm cực tiểu và cực đại cho những hàm số đa thức và phát triển phương pháp tích phân gần giống như cái mà chúng ta đang dùng hiện tại.
Những hoạt động khoa học không chuyên nghiệp của ông làm ông được xem như một thiên tài lúc bấy giờ. Ông yêu toán, thích chứng minh và đề nghị nhiều phương pháp mới mẻ. Tuy nhiên ông chỉ trao đổi thư từ với các nhà khoa học khác như Galilée, René Descartes, Blaise Pascal, Marin Mersenne.
Fermat rất say mê các bài toán thời cổ đại. Ông để lại nhiều đề toán chưa chứng minh mà nhà toán học Leonhard Euler (1707 - 1783) sẽ giải sau này. Đặc biệt là giả định Fermat: Phương trình xn + yn = zn không có nghiệm số với x, y, z >0 và n>2. Tác phẩm này Fermat viết và con trai ông đã in ra ngay sau khi ông mất.
Chúng ta chỉ biết về các công trình và những ý tưởng của ông nhờ những lời dẫn giải trong các tác phẩm của ông và rất nhiều thư từ ông đã viết cho các nhà bác học đồng thời với ông. May thay, Samuel-Clément Fermat đã tìm giữ lại được những tài liệu đó. Nên một phần tác phẩm của Fermat đã được in ra vào cuối thế kỷ thứ XVII, rồi tái bản vào thế kỷ thứ XIX và đang dần dần tái bản trở lại. Không có tác phẩm nào được in ra trong lúc Fermat còn sống. Người ta tìm lại được bài viết về hình học và ra mắt năm 1660, phụ bản của quyển viết về cycloïde và ký những chữ cái đứng đầu của tên ông, do cha đạo Antoine de Laloubère in tại Toulouse.
Ferrmat có sự đóng góp thiết yếu cho Lý thuyết số, ông để lại nhiều định lý không chứng minh; Euler đã chứng minh một số lớn những vấn đề Fermat đưa ra. Ông là người tiên phong, trao đổi qua thư từ với Blaise Pascal về phép tính xác suất. Ông xây dựng cùng lúc với Descartes ngành hình học giải tích, sáng chế phương pháp tọa độ để định vị trí một điểm trong một mặt phẳng, quan niệm các đường cong như những quỹ tích các điểm, nghĩa là tổng hợp các điểm để xác định một đẳng thức.
Ông là người đầu tiên khởi xướng phương pháp tổng quát để xác định các tiếp tuyến tới một đường cong phẳng và hợp nhất hai lĩnh vực đại số và hình học.