G
ottfried Leibniz là con trai của một giáo sư triết học trường Đại học Leipzig. Năm lên 6 tuổi ông đã say mê sách vở, suốt ngày không rời thư viện gia đình, 15 tuổi ông đã là sinh viên trường Đại học Leipzig, theo học triết học, luật học và thần học. Cho đến lúc ấy ông chưa hề có khái niệm gì về toán học.
Một hôm, nhân đi thăm trường Đại học Iéna, Leibniz phát hiện cuốn sách Element của Euclid. Ông đem về đọc say sưa và bắt đầu thích tìm hiểu về toán học.
Năm 20 tuổi, ông nhận bằng tiến sĩ luật và trở thành người phụ tá cho các bậc danh gia quý tộc như hoàng tử xứ Hanovre. Ông nhanh chóng trở thành quan chức ngoại giao và được giao nhiệm vụ qua Pháp với sứ mệnh tìm cách cản trở việc tiếp kiến giữa các hoàng tử nước Đức với vua Louis XIV của nước Pháp. Nhưng chính trong những ngày làm ngoại giao trên đất Pháp, ông đã quen được Huyghens. Nhà vật lý người Hà Lan nổi tiếng này được Louis XIV mời sang Pháp làm cộng tác viên khoa học và về sau là một trong những sáng lập viên của viện Hàn lâm Khoa học Pháp.
Qua những lần tiếp xúc, Huyghens nhanh chóng phát hiện ra năng khiếu toán học ở chàng thanh niên Đức nhỏ hơn mình 17 tuổi này. Huyghens khuyến khích Leibniz theo học toán, đây chính là bước ngoặt quan trọng trong cuộc đời ông.
Năm 1693 Leibniz sang thăm nước Anh, tiếp xúc với các nhà toán học ở xứ sở sương mù và được mời làm thành viên của Royal Society (viện Hàn lâm Khoa học). Một lần khi Newton đọc bản thảo về sự phát minh ra phép tính vi phân của Leibniz, Newton đã nghi ngờ Leibniz lấy ý tưởng của mình để sáng tạo và từ đó nảy ra cuộc tranh cãi ai là người sáng tạo ra phép tính vi phân trước: Newton hay Leibniz.
Năm 1676 Leibniz phải quay về Đức để tham gia viết gia phả cho gia đình Brunswick, việc này chiếm khá nhiều thời gian của ông. Năm 1682, Leibniz sáng lập tạp chí Acta Eruditorum để đăng những công trình nghiên cứu của các nhà khoa học Đức và quốc tế. Qua đó, Leibniz giữ được liên lạc với anh em dòng họ Bernoulli. Năm 1700, ông sáng lập viện Hàn lâm Khoa học Berlin. Cuối đời, ông buồn vì những cuộc tranh cãi giữa ông và Newton, vì các hoàng tử xứ Hanovre không còn ưu ái ông nữa. Ông qua đời trong cô đơn, chỉ còn người thư ký là trung thành với ông cho đến khi trút hơi thở cuối cùng.
*
Một hôm Huyghens hỏi, làm thế nào tìm tổng các nghịch đảo của số tam giác.
Dù không học toán có hệ thống, nhưng với sự nhạy cảm đặc biệt thiên phú, Leibniz nhận xét số nghịch đảo của số tam giác có dạng:
2/n(n + 1) và 2/n(n + 1) = 2/n - 2/(n + 1).
Do đó Leibniz trả lời ngay, đáp số là 2
Sau đó, ông say sưa nghiên cứu tổng của các dãy số:
1/1 1/2 1/3 1/4... 1/n 1/(n + 1)...
1/2 1/6 1/12 1/20... 1/n(n + 1) 1/(n + 1)(n + 2)...
2/6 2/24 2/60... 2/n(n + 1)(n + 2) 2/(n + 1)(n + 2)(n + 3)...
Leibniz đưa ra nhận xét: Một số hạng bằng hiệu của số hạng tương ứng đứng ở hàng trên nó trừ đi số hạng đứng bên phải. Ví dụ số hạng 1/6, số hạng tương ứng đứng ở trên nó là 1/2 và số hạng bên phải nó là 1/3 vì 1/6 = 1/2 - 1/3
Từ tổng các dãy số ông đi dần đến tìm cách cầu phương các đường cong và tìm ra cách tính diện tích. Vì công trình này, Leibniz được xem là người sáng tạo phép tính vi tích phân, nhưng sinh thời ông làm chưa thật chặt chẽ, Bernoulli đã tiếp sức ông nhưng phải đợi đến năm 1961, Robinsson trong khuôn khổ của giải tích không chuẩn mới đưa ra được một định nghĩa thỏa đáng về các vô cùng bé.
Với suy nghĩ rất thiệt thực, ông luôn tìm cách đưa ra ký hiệu để thay cho các lời nói dông dài rối rắm khó hiểu. Nhờ thế mà đời sau thừa hưởng được các ký hiệu như dy/dx, ký hiệu ∫. Chính Leibniz là người đầu tiên đưa ra ký hiệu “.” để chỉ phép nhân, ký hiệu “:” để chỉ phép chia, và cũng chính nhờ Leibniz và Newton mà ngày nay ta có dấu “=”.
Leibniz còn là người đầu tiên dùng từ hàm số. Ngoài ra ông còn là tác giả của nhiều công trình nghiên cứu quan trọng khác như “Phương trình vi phân tuyến tính” mà chính ông là người đầu tiên sử dụng định thức trong lĩnh vực này. Trong cuốn “De arte combinatoria”, Leibniz tìm cách tạo ra một hệ thống lý luận chung, phổ biến. Ông kết hợp với mỗi quan niệm nguyên thủy một số nguyên tố, với mỗi quan niệm kép là tích các số do quan niệm nguyên thủy tạo thành quan niệm kép ấy, nhưng lập luận của ông không đi đến đâu. Ông đưa ra một lý thuyết đại số cho Logique, trong đó có phép cộng, phép nhân, phép phủ định và lớp không. Ngoài ra ông còn lập các quan hệ trừu tượng, có phép đối xứng, phép bắc cầu.
Ông cũng nghĩ ra một quan hệ như kiểu song ánh nhưng Leibniz không đủ sức đi xa hơn, phải đợi đến thế kỷ XIX các nhà toán học Boole và De Morgan mới góp phần hoàn thiện thêm. Ở thời đại Leibniz, người ta biết tên tuổi ông chính là qua những phát biểu triết lý của ông. Nhưng những nhà toán học đồng thời với ông và lớp hậu thế của ông đã thấy rất rõ trong Leibniz quan điểm triết học và tư duy toán học quyện vào nhau thành một thực thể. Khi đọc quan niệm về vô cùng bé trong Phép tính vi phân của Leibniz, ông khi ông viết về triết học (monade là một từ triết học có nghĩa là đơn nguyên - một phần tử nhỏ nhất). Khi Leibniz nghiên cứu về số phức thì ông xem số phức như một loài lưỡng thể - ở giữa sự tồn tại và sự không tồn tại, tương tự như Esprit saint (giáo sư Đào Duy Anh dịch là Thánh linh) của thần học Cơ đốc giáo.