G
eorg Waldemar Cantor sinh ra tại Đan Mạch, là một người yêu thích văn hóa nghệ thuật. Mẹ của Georg, bà Maria Anna Böhm sinh ra ở Nga, rất có năng khiếu về âm nhạc. Dĩ nhiên, Georg có được gen năng khiếu âm nhạc và hội họa từ người mẹ mình, nổi bật là một người chơi dương cầm điêu luyện. Cha của Georg Cantor, ông Georg Waldemar Cantor, một nhà buôn thành đạt làm việc tại một đại lý lớn tại St Petersburg, sau đó làm người môi giới ở chợ chứng khoán St Petersburg. Lớn lên, Georg trở thành một người theo đạo Tin Lành, đó là tôn giáo của cha ông, trong khi mẹ của ông lại là một người theo đạo Kito hữu.
Sau khi được gia sư dạy dỗ ở nhà, Cantor theo học tiểu học ở thành phố St Petersburg và năm 1856, khi ông lên 11 tuổi, gia đình ông chuyển sang Đức. Cantor:
“... nghĩ lại lúc còn học ở Nga, với nỗi nhớ da diết và không hề vơi đi khi ông sống ở Đức, mặc dù ông đã sống ở đây đến hết cuộc đời của mình, song dường như ông chưa bao giờ viết tiếng Nga, ngôn ngữ mà ông nên biết”.
Cha của Cantor sức khỏe không tốt, nên đã chuyển tới sống ở Đức, để tìm một vùng khí hậu ấm áp, thay thế cho cái lạnh giá của thành phố St Petersburg. Ban đầu, họ sống ở Wiesbaden, sau đó chuyển đến Frankfurt. Cantor học tại Realschule ở Darmstadt. Ông tốt nghiệp năm 1860 với một kết quả xuất sắc. Sau đó, ông theo học tại Höhere Gewerbeschule ở Darmstadt, vào trường Polytechnic của Zurich năm 1862. Lý do mà cha của Cantor muốn gửi ông đến học ở Höheren Gewerbeschule là vì muốn Cantor trở thành một ngôi sao sáng trên bầu trời khoa học kỹ thuật.
Tuy nhiên, năm 1862 Cantor đã xin phép cha cho để theo học ngành toán tại Đại học. Quá trình học tập của ông tại Zurich bị gián đoạn do cha ông qua đời, tháng 6 năm 1863. Cantor chuyển đến trường đại học Berlin, nơi ông trở thành bạn của Herman Schwarz, một người học sau ông một khóa. Cantor nghe các bài giảng của Weierstrass, Kummer và Kronecker. Ông theo khóa học mùa hè của năm 1866 tại trường đại học Göttingen, và trở lại Berlin để hoàn thành luận án tốt nghiệp về lý thuyết số năm 1867.
Trong thời gian ở Berlin, Cantor có mối liên hệ với viện Toán, và trở thành người đứng đầu của viện này những năm 1864 - 1865. Ông cũng là một thành viên của nhóm các nhà toán học trẻ, họ có các cuộc bàn luận định kì hàng tuần tại nhà. Sau khi nhận bằng tiến sĩ năm 1867, Cantor dạy học tại một trường nữ sinh ở Berlin. Sau đó, năm 1868, ông tham gia hội thảo Schellbach Seminar dành cho giáo viên dạy toán. Suốt thời gian này, ông làm việc bảo vệ luận án habilitation của ông.
Tại Halle, hướng nghiên cứu của Cantor chuyển từ lý thuyết số sang tích phân. Đó là một vấn đề khó đã từng được nhiều nhà toán học quan tâm, nhưng chưa có lời giải thành công, bao gồm cả Heine, hay Dirichlet, Lipschitz và Riemann. Cantor đã tìm ra đáp án cho vấn đề hóc búa trên vào tháng 4 năm 1870. Ông công bố bài báo trong những năm 1870 và 1872, với nội dung chính là chuỗi lượng giác và chúng được chỉ ra một cách nhuần nhuyễn trong quá trình giảng dạy của Weierstrass.
Cantor trở thành giáo sư đặc biệt của Halle năm 1872, và trong năm này, ông bắt đầu có mối quan hệ với Dedekind, người ông đã từng gặp trong kì nghỉ ở Thụy Sĩ. Cantor công bố một bài báo về chuỗi lượng giác năm 1872, trong đó ông định nghĩa số vô tỉ trong giới hạn của những hàm số hội tụ của số hữu tỉ. Năm 1873 Cantor chứng minh rằng số hữu tỉ có thể đếm được, ví dụ như chúng có thể được đặt dưới dạng 1-1 tương ứng với những số tự nhiên. Ông cũng chỉ ra rằng các số đại số, ví dụ như số nghiệm của các phương trình bậc cao với hệ số nguyên, là đếm được. Tháng 12 năm 1873, ông chứng minh được rằng các số thực là không đếm được, ông đã công bố kết quả này vào năm 1874.
Một số siêu việt là một số vô tỉ cái không là một nghiêm của bất kỳ phương trình bậc cao với hệ số nguyên nào. Năm 1851, Liouville đã chứng minh 1851 sự tồn tại của số siêu việt, 20 năm sau, năm 1874, Cantor chỉ ra một điều chắc chắn rằng “gần như tất cả” các số là số siêu việt bằng cách chứng minh rằng số thực là không đếm được trong khi ông đã chứng minh được rằng các số đại số là đếm được.
Cantor vội viết thư trao đổi với Dedekind. Câu hỏi tiếp theo ông tự hỏi chính mình, tháng 1 năm 1874, phải chăng bình phương đơn vị có thể phác họa trên một đường của chiều dài đơn vị với sự tương xứng 1-1 của các điểm lẫn nhau. Trong một lá thư gửi cho Dedekind ngày mùng 5 tháng 1 năm 1874, ông đã viết: “Phải chăng một bề mặt (như một mặt vuông bao gồm cả biên) là duy nhất chuyển thành một đường (như một đoạn thẳng bao gồm các điểm mút) ở đó với mỗi điểm trên mặt đều tương ứng với một điểm trên đương thẳng, và ngược lại, với mỗi điểm thuộc đường thẳng, sẽ có một điểm tương ứng trên bề mặt? Tôi nghĩ rằng việc trả lời cho câu hỏi này là một việc không đơn giản, mặc dù thực tế câu trả lời dường như rất rõ ràng là “không” và việc chứng minh là không cần thiết.”
Năm 1874 là một năm rất quan trọng trong cuộc đời của Cantor. Ông hứa hôn với Vally Guttmann, một người bạn của chị gái ông, vào mùa xuân năm đó. Họ lấy nhau vào ngày mùng 9 tháng 8 năm 1974, cùng đi hưởng tuần trăng mật ở Interlaken, Thụy Sĩ, nơi Cantor đã dùng phần lớn thời gian để trao đổi về toán học với Dedekind.
Cantor tiếp tục trả lời Dedekind, trao đổi ý tưởng cũng như xem xét các ý kiến của Dedekind, ông đã viết cho Dedekind trong năm 1877, bước chứng minh rằng có một sự tương ứng 1-1 của các điểm trong khoảng [0,1] và các điểm trong không gian p - chiều. Cantor đã rất ngạc nghiên về khám phá của ông, và viết: “Tôi thấy điều đó, nhưng tôi không tin được nó.”
Giữa những năm 1879 và 1884, Cantor công bố một tập hợp gồm 6 bài luận trong Mathematische Annalen để đưa ra một hướng dẫn cơ bản về lý thuyết tập hợp. Hơn nữa, có một số vấn đề ông cho là khó. Mặc dù ông đã được cử giữ chức giáo sư chính thức năm 1879, Cantor đã từng hy vọng được dạy tại một trường đại học có uy tín hơn. Sự đối lập lâu dài giữa Cantor và Schwarz chấm dứt năm 1880, khi ý tưởng của Cantor ngày càng phát triển trong khi Schwarz không còn theo kịp hướng đi của ông. Quan hệ thư từ lâu dài giữa Cantor và Dedekind cũng chấm dứt vào năm 1882.
Vào thời gian đó, Cantor bắt đầu có một mối quan hệ khác khá quan trọng với Mittag-Leffler. Cantor công bố trên tạp chí của Mittag-Leffler Acta Mathematica, tất nhiên chuỗi 6 bài luận của ông ở vẫn tiếp tục xuất hiện trên tạp chí Mathematische Annalen. Trong bài luận thứ 5, được công bố dưới dạng một chuyên khảo riêng và đặc biệt quan trọng bởi một vài lý do. Trước hết Cantor nhận ra rằng lý thuyết tập hợp của ông không được như ông đã mong đợi và Grundlagen nhận được một số những lời bình. Thứ hai: bước thành công chính của Grundlagen là sự giới thiệu về số transfinite, như sự độc lập và là hệ thống nối tiếp của số tự nhiên.
Cantor kết luận một cách rõ ràng trong bài luận rằng ông hiểu sức mạnh của sự đối lập với ý tưởng của ông. “...
Tôi hiểu rằng trong công việc này, tôi đặt bản thân mình ở trong một phía đối lập hoàn toàn với quan điểm rộng rãi về toán vô hạn của nhiều người và đưa ra chính kiến thường xuyên để bảo vệ trên vấn đề số tự nhiên”.
Cuối tháng 5 năm 1884 Cantor đã tỏ dấu hiệu chán nản đầu tiên. Ông viết cho Mittag-Leffler cuối tháng sáu rằng: “Tôi không biết khi nào tôi sẽ quay lại công việc nghiên cứu. Trong thời điểm này tôi chẳng làm được gì với nó, và giới hạn mình bằng các bài giảng là cần thiết nhất: niềm vui tôi sẽ có là động lực để tôi tiếp tục nghiên cứu, và chỉ khi tôi có một tinh thần thoải mái hơn.”
Sự chán nản của ông là do ông lo lắng về mặt toán học, và cụ thể là kết quả khó khăn trong mối quan hệ của ông với Kronecker.
Nó cũng là lý do ảnh hưởng đến vấn đề thần kinh của ông không được tốt những năm 1884. Và Cantor cảm thấy lo rằng ông có thể không chứng minh được giả thuyết continuum, tên gọi theo thứ tự của vô hạn của số thực, cái tiếp theo số tự nhiên. Trong thực tế, ông nghĩ rằng chứng minh của mình là sai, ngay sau đó ông tìm ra lỗi sai của mình.
Năm 1885 Mittag-Leffler thuyết phục Cantor hủy bỏ một trong những bài báo từ Acta Mathematica khi nó đã đạt đến được kết quả chứng minh bởi nó “sớm hơn 100 năm”. Cantor nói đùa về điều đó, nhưng cũng cảm thấy đau trong lòng:
“Có phải Mittag-Leffler đã có ý của ông ấy, tôi sẽ phải đợi, điều này đối với tôi dường như là một đòi hỏi quá lớn... nhưng tất nhiên tôi chưa bao giờ muốn biết mọi thứ về Acta Mathematica.”
Mittag-Leffler có ý định tốt nhưng nó chỉ ra sự thiếu tôn trọng đối với công việc quan trọng của Cantor. Quá trình trao đổi thư từ giữa Mittag-Leffler và Cantor dừng trong một thời gian ngắn sau sự kiện này và làm xóa đi những ý tưởng mới, cái dẫn đến việc Cantor mở rộng lý thuyết tập hợp trên 12 năm dường như gần chấm dứt.
Năm 1886, Cantor mua một căn nhà đẹp ở Händelstrasse, một con đường mang tên nhà soạn nhạc người Đức, Handek.
Năm 1884, Cantor công bố bài báo liệt kê tất cả các số chẵn tới 1000 có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố. Những bài viết về lý thuyết tập hợp được đưa ra vào năm 1895 và 1896. Năm 1897, Cantor tham dự Hội nghị toán học quốc tế đầu tiên tại Zurich. Trong bài luận tại hội nghị: Hurwitz biểu lộ sự cảm phục lớn đối với Cantor và tuyên bố ông là người đã làm phong phú thêm lý thuyết hàm. Jacques Hadamard cùng bày tỏ quan điểm của mình rằng nhờ có Cantor mà những khái niệm về lý thuyết tập hợp được xây dựng và là công cụ tối cần thiết.
Thời gian này, Cantor lâm vào khủng hoảng sau cái chết của mẹ và em trai út của ông. Cho tới cuối đời của ông, ông phải đấu tranh với căn bệnh suy nhược thần kinh. Ông vẫn tiếp tục giảng dạy, nhưng cũng dành thời gian cho việc chữa bệnh.
Tháng 6 năm 1917, ông phải nhập viện để chữa trị căn bệnh của mình ông qua đời vì một cơn đau tim.
Có thể nói, George Cantor là một nhà toán học không đươc công nhận lúc đương thời. Mặc dù đầy bi kịch cá nhân trong cuộc sống, theo đuổi nghề nghiệp rất khó khăn nhưng Cantor đóng góp rất nhiều cho lĩnh vực toán học. Sáng tạo của ông về lý thuyết tập khiến ông trở thành một trong những nhà toán học có ảnh hưởng nhất của thế kỷ XIX. Trong khi bệnh trầm cảm gây ảnh hưởng bất lợi cho ông trong cuộc sống, ông vẫn tiếp tục nghiên cứu toán học. Ông đã sử dụng trí tuệ tuyệt vời của mình đóng góp nhiều cho lĩnh vực toán học. Quan điểm của ông về vô cực và lý thuyết tập hợp của ông có ảnh hưởng thực sự tới toán học hiện đại.