E
uclid là nhà toán học lỗi lạc thời cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ thứ III trước công nguyên, được hoàng đế Ptolemy I mời về làm việc ở Alexandria, một trung tâm khoa học lớn thời cổ trên bờ biển Địa Trung Hải. Theo một giai thoại kể lại, có lần hoàng đế Ptolemy I Soter hỏi Euclid:
- Liệu ta có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn không?
Euclid đáp:
- Tâu bệ hạ, trong hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa.
Bằng cách chọn lọc, phân biệt các loại kiến thức hình học đã có, bổ sung, khái quát và sắp xếp chúng lại thành một hệ thống chặt chẽ, dùng các tính chất trước để suy ra tính chất sau, bộ sách Cơ sở đồ sộ của Euclid đã đặt nền móng cho môn hình học cũng như toàn bộ toán học cổ đại.
Bộ sách gồm 13 cuốn: sáu cuốn đầu gồm các kiến thức về hình học phẳng, ba cuốn tiếp theo có nội dung số học được trình bày dưới dạng hình học, cuốn thứ mười gồm các phép dựng hình có liên quan đến đại số, 3 cuốn cuối cùng nói về hình học không gian.
Trong cuốn thứ nhất, Euclid đưa ra 5 định đề:
1. Qua hai điểm bất kỳ, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3. Với tâm bất kỳ và bán kính bất kỳ, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu 2 đường thẳng tạo thành với 1 đường thẳng thứ 3 hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.
Và 5 tiên đề:
1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
4. Trùng nhau thì bằng nhau.
5. Toàn thể lớn hơn một phần.
Với các định đề và tiên đề đó, Euclid đã chứng minh được tất cả các tính chất hình học. Con đường suy diễn hệ thống và chặt chẽ của bộ cơ bản làm cho tập sách được chép tay và truyền đi các nước. Tuy nhiên, các định đề và tiên đề của Euclid còn quá ít, đặc biệt là không có các tiên đề về liên tục, nên trong nhiều chứng minh, ông phải dựa vào trực giác hoặc thừa nhận những điều mà ông không nêu thành tiên đề.
Tiên đề Euclid về đường thẳng song song:
Nếu tổng hai góc trong bằng 180°, thì các đường thẳng là song song và không cắt nhau. Trong hình học, định đề song song hay định đề thứ năm của Euclid do nó là định đề thứ năm trong cơ sở của Euclid, là một tiên đề mà ngày nay gọi là hình học Euclid.
Nội dung tiên đề Euclid: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Ngoài ra có thể phát biểu tiên đề dưới các dạng sau:
• Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có 2 đường thẳng song song với a thì chúng trùng nhau.
• Cho điểm M ở ngoài đường thẳng a. Đường thẳng đi qua M và song song với a là duy nhất.
Nhờ tiên đề Euclid người ta suy ra tính chất sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
1. Hai góc so le trong bằng nhau;
2. Hai góc đồng vị bằng nhau;
3. Và một số tính chất như:
Đường thẳng qua hai điểm A, B
3 điểm A, B, C xác định mặt phẳng
• Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng (hay không nằm trên một đường thẳng) xác định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng.
• Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó.
Đường thẳng trên mặt phẳng 2 mặt phẳng giao nhau
• Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng ít nhất còn có một điểm chung nữa.
• Từ một điểm bất kỳ nằm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song) Phát biểu khác:
- Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo ra hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn hai góc vuông, thì hai đường đó khi kéo dài đủ xa phải cắt nhau về phía ấy.
- Hoặc đơn giản: tổng các góc trong một tam giác bằng 180°
Đường thẳng song song
Hai đường thẳng vuông góc
Như vậy, từ một điểm bất kỳ nằm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó.
Trong lịch sử toán học, thường lưu truyền về Euclid? Đó là niềm tin rằng tập tác phẩm “Nguyên tố” của Euclid ghi chép những sự thật rõ ràng và không thể nghi ngờ về vũ trụ. Thực ra, nội dung của tác phẩm này là tổng hợp tri thức toán học của Hy Lạp cổ đại, chứ không phải là những nghiên cứu của riêng Euclid, nhưng Euclid đã có công rất lớn trong việc xây dựng và phát triển những thành quả toán học đó thành một hệ thống với phương pháp luận khoa học.
Từ những sự thật hiển nhiên, Euclid sử dụng những chứng minh chặt chẽ để đạt được những tri thức khách quan và vĩnh cửu. Cho đến giữa thế kỷ XIX, những điều Euclid phát biểu vẫn là bất khả xâm phạm và hầu như tất cả mọi người đều tin vào tính xác thực tuyệt đối của nó. Đấy cũng là điểm tựa chính cho triết học siêu hình đi tìm chân lý tiên nghiệm về tự nhiên và vũ trụ.