“Con quỷ toán học”

P

oincaré sinh ngày 29 tháng 4 năm 1854 tại Cité Ducale gần Nancy, Meurthe-et-Moselle. Cha ông là Leon Poincaré (1828-1892) giáo sư y học tại Đại học Nancy. Vào năm 1862 Henri học tại trường Lycée ở Nancy. Ông học mười một năm tại Lycée và trong suốt thời gian này ông luôn đứng đầu trường trong các môn học. Ông rất giỏi viết văn. Giáo viên toán coi ông như là “quái vật của Toán học” và ông đã giành giải nhất trong cuộc thi học sinh giỏi của nước Pháp.

Ngay từ nhỏ, Poincaré đã nổi tiếng về tài năng phi thường trong toán học. Một thầy giáo dạy toán tên là Carta de Elliot tại trường trung học Nancy nay là trường Lycée đã từng gọi Poincare là “con quỷ toán học”. Năm 1872, trong một thư gửi cho một người bạn, thầy Elliot viết: “Trong lớp của tôi ở Nancy, có một con quỷ toán học, đó là Henri Poincaré”.

Đúng như lời thầy nói, sau này Poincaré không những đã làm biến đổi nền toán học mà còn cùng với những người khổng lồ khác như Max Planck, Albert Einstein,… đã làm thay đổi cả vật lý trong giai đoạn cuối của thế kỷ XX.

Tuy nhiên, khi học ở trường, môn học kém nhất của ông lại là âm nhạc và vật lý - ông được đánh giá là trung bình khá. Ông tốt nghiệp trường Lycée năm 1871 với tấm bằng cử nhân văn chương và khoa học. Poincaré thi đỗ vào trường Đại học Bách khoa năm 1873. Tại đây ông học toán dưới sự hướng dẫn của Charles Hermite, tiếp tục phát triển tài năng toán học của mình và viết bài báo đầu tiên (Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface) vào năm 1874. Ông tốt nghiệp năm 1875 hoặc năm 1876. Ông nghiên cứu và học tiếp toán học tại trường Mỏ (École des Mines) và tốt nghiệp kỹ sư mỏ vào tháng 3 năm 1879.

Khi học tại trường Mỏ (École des Mines) ông tham gia vào Ủy ban về mỏ với vị trí là thanh tra tại vùng Vesoul miền Đông bắc nước Pháp. Vào tháng 8 năm 1879 đã xảy ra một vụ tai nạn tại mỏ Magny làm 18 công nhân mỏ bị chết. Ông đã khảo sát chi tiết các nguyên nhân khách quan và chủ quan.

Thời gian này, Poincaré chuẩn bị làm luận án Tiến sĩ toán học dưới sự hướng dẫn của Charles Hermite. Luận án của ông trong lĩnh vực phương trình vi phân, dưới tiêu đề “Về các tính chất của các hàm số xác định bằng phương trình vi phân”. Poincaré đã đưa ra một hướng mới trong việc nghiên cứu tính chất của các phương trình này. Ông không chỉ đối mặt với vấn đề xác định tính khả tích của các phương trình vi phân, mà còn là người đầu tiên nghiên cứu các tính chất hình học tổng quát của chúng. Ông nhận ra chúng có thể được sử dụng để mô hình hóa tương tác giữa các vật thể chuyển động trong hệ Mặt trời.

Poincaré tốt nghiệp Đại học Paris năm 1879. Sau đó, ông được nhận vào Đại học Caen với vị trí là trợ giảng toán học. Nhưng ông cũng không từ bỏ hoàn toàn nghề mỏ. Ông làm kỹ sư tại bộ dịch vụ công cộng với nhiệm vụ là phát triển tuyến đường sắt miền Bắc từ năm 1881 đến năm 1885. Sau đó, ông trở thành kỹ sư trưởng tại Corps de Mines vào năm 1893 và tổng thanh tra năm 1910.

Đầu năm 1881 cho đến cuối đời, ông dạy tại Đại học Paris. Ban đầu ông được bổ nhiệm làm trợ lý giáo sư về giải tích. Sau đó, ông giữ chức trưởng phòng các phòng vật lý và cơ học thực nghiệm, toán lý và lý thuyết xác suất, thiên văn và cơ học thiên thể.

Năm 1881, Poincaré kết hôn với Poulain d'Andecy. Họ có bốn người con: Jeanne (sinh năm 1887), Yvonne (sinh năm 1889), Henriette (sinh năm 1891), và Léon (sinh năm 1893).

Năm 1887, ở tuổi 32, Poincaré được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp và trở thành chủ tịch năm 1906.

Năm 1887 ông đoạt giải Oscar II, một cuộc thi do vua Thụy Điển tổ chức nhằm tìm lời giải cho bài toán ba vật thể liên quan đến các vật thể chuyển động tự do trên quỹ đạo.

Poincaré là một người đa tài và được coi là người có tầm hiểu biết sâu rộng các lĩnh vực khoa học đặc biệt trong toán học. Là một nhà toán học và vật lý, ông đã có rất nhiều đóng góp căn bản cho toán học thuần túy, toán học ứng dụng, vật lý toán, và cơ học thiên thể. Ông cũng là người đặt ra bài toán nổi tiếng giả thuyết Poincaré trong toán học. Khi nghiên cứu về bài toán ba vật thể, ông là người đầu tiên khám phá ra hệ có tính tất định hỗn độn, sau này là cơ sở cho lý thuyết hỗn độn hiện đại. Ông được coi là một trong những cha đẻ của topo học.

Poincaré đã đưa ra nguyên lý tương đối hiện đại, và lần đầu tiên ông đã biểu diễn các phép biến đổi Lorentz theo dạng đối xứng hiện đại của chúng. Poincaré đã phát hiện ra các phép biến đổi vận tốc vẫn còn đúng trong phạm vi tương đối tính, và đã gửi điều này trong một lá thư tới Hendrik Lorentz vào năm 1905. Dựa vào điều này, ông đã rút ra được tính bất biến của các phương trình Maxwell trong lý thuyết tương đối đặc biệt - một bước quan trọng trong việc xây dựng lý thuyết này.

Vấn đề tìm lời giải tổng quát cho n (n>2) vật thể chuyển động trên quỹ đạo trong hệ Mặt trời đã được đặt ra từ thời đại của Isaac Newton. Ban đầu là bài toán đối với ba vật thể, sau đó được tổng quát lên cho n. Lời giải bài toán n - vật thể được xem là rất quan trọng và là thử thách đối với các nhà toán học cuối thế kỷ XIX. Vào năm 1887, để kỷ niệm lần sinh nhật thứ 60 của mình, nhà vua Thụy Điển Oscar II cùng với sự trợ giúp của Gösta Mittag-Leffler, đã lập một giải thưởng cho người nào giải được bài toán.

Trong trường hợp không giải được, bất kỳ một đóng góp quan trọng cho cơ học cổ điển thì đều được trao giải. Giải thưởng cuối cùng đã trao cho Poincaré, mặc dù ông không hề giải bài toán gốc. Một thành viên xét duyệt, giáo sư Karl Weierstrass nói rằng: “Mặc dù lời giải đưa ra không cung cấp một lời giải đầy đủ cho bài toán, nhưng cho dù thế nào đi chăng nữa sự xuất hiện của nó sẽ mở đầu cho một kỷ nguyên mới của lịch sử cơ học thiên thể”.

Công việc của Poincaré tại Bureau des Longitudes về việc xác định các vùng thời gian quốc tế đã dẫn ông đến xem xét việc bằng cách nào mà các đồng hồ được đặt trên mặt đất và đồng hồ trong không gian tuyệt đối di chuyển với các vận tốc tương đối khác nhau được đồng bộ hóa với nhau. Cũng trong thời gian này, nhà vật lý lý thuyết Hendrik Lorentz đang phát triển lý thuyết của Maxwell vào chuyển động của các hạt tích điện (electron hoặc ion), và tương tác của chúng cùng với sự phát xạ. Năm 1895 Lorentz đã đưa ra một đại lượng phụ (mà không có sự giải thích vật lý một cách rõ ràng) gọi là “thời gian địa phương” (hoặc còn gọi là thời gian cục bộ) Poincaré là một người diễn giải kiên định (thỉnh thoảng là người bạn phê bình) đối với lý thuyết của Lorentz. Với vai trò là nhà triết học, ông cũng thích thú khi tìm “hiểu ý nghĩa sâu xa” của lý thuyết này. Ông đã đi đến các bản chất của lý thuyết Lorentz và bây giờ được coi như là một phần của thuyết Tương đối đặc biệt. Trong bài viết “Đo thời gian” (năm 1898): “Một chút suy nghĩ cũng đủ để hiểu rằng tất cả những khẳng định này tự chúng không có ý nghĩa. Chúng chỉ có ý nghĩa khi là kết quả của sự quy ước.” Ông cũng cho rằng, các nhà khoa học phải đặt vận tốc ánh sáng là một hằng số như là một tiên đề để các lý thuyết vật lý có dạng đơn giản nhất. Dựa trên những điều giả sử này, ông đã thảo luận (năm 1900) về phát minh của Lorentz về thời gian cục bộ và chú ý đến nó xuất hiện trong trường hợp đồng hồ chuyển động được đồng bộ hóa bằng cách trao đổi tín hiệu ánh sáng giả sử được truyền đi với cùng vận tốc theo cùng các hướng trong một khung di động.

Ông cũng đề cập đến “Nguyên lý của chuyển động tương đối” vào năm 1900 và đặt tên nó là “Nguyên lý tương đối” vào năm 1904, theo đó không có một thí nghiệm vật lý nào có thể phân biệt được giữa trạng thái của chuyển động đều và trạng thái nghỉ. Năm 1905 Poincaré gửi một lá thư cho Lorentz. Trong lá thư này, ông đã chỉ ra một lỗi của Lorentz khi áp dụng các phép biến đổi cho các phương trình Maxwell đối với các hạt tích điện, ngoài ra cũng đề cập tới hệ số giãn thời gian của Lorentz. Trong một lá thư thứ hai, Poincaré đưa ra lý do vì sao hệ số giãn thời gian quả thực là đúng: Sự cần thiết để dạng các phép biến đổi tạo thành một nhóm và đặt cho nó cái tên như bây giờ được biết đến là định luật cộng vận tốc tương đối tính. Poincaré đã đọc một báo cáo tại cuộc họp của Viện Hàn lâm Khoa học tại Paris vào ngày 5 tháng 6 năm 1905 trong đó ông đề cập đến những vấn đề trên.

Poincaré đã khám phá ra mối quan hệ giữa khối lượng và năng lượng điện từ. Trong khi nghiên cứu mâu thuẫn giữa các định luật Newton và lý thuyết của Lorentz, ông đã cố xác định liệu khi trường điện từ được kể đến thì khối tâm có di chuyển với vận tốc đều hay không? Ông nhận thấy định luật tác dụng/phản tác dụng không chỉ đúng đối với vật chất, mà trường điện từ cũng có động lượng của nó. Poincaré kết luận rằng năng lượng trường điện từ của sóng điện từ giống như một chất lỏng lý tưởng với mật độ E/c2. Vì năng lượng điện từ có thể biến đổi thành các dạng khác, do vậy Poincaré đã giả sử rằng tồn tại một chất lỏng không chứa năng lượng điện tại mỗi điểm của không gian, và tại đó năng lượng điện từ có thể biến đổi và mang một khối lượng tỷ lệ với năng lượng đó. Theo cách này chuyển động của khối tâm vẫn là đều.

Poincaré thực hiện một phép biến đổi Lorentz đối với hệ tọa độ di chuyển so với gốc. Ông nhận thấy định luật bảo toàn năng lượng thỏa mãn trong cả hai hệ, nhưng định luật bảo toàn động lượng bị vi phạm. Điều này dẫn đến chuyển động vĩnh cửu, cái không thể xảy ra. Các định luật của tự nhiên là khác nhau trong các hệ quy chiếu, và nguyên lý tương đối không còn đúng nữa.

Poincaré rất thích theo lối suy nghĩ của riêng ông; và đưa ra những nhận định trong một buổi nói chuyện năm 1908 tại Viện tâm lý học trung ương ở Paris. Trong đó ông liên hệ giữa cách ông suy nghĩ với những khám phá do ông tìm ra. Nhà toán học Darboux nhận xét Poincaré là tuýp người thuộc về “trực giác”, bởi vì người ta thường thấy ông làm việc với sự hình dung những đối tượng trong nghiên cứu của ông. Ông không quan tâm đến sự phức tạp và sự phi logic. Ông tin rằng không phải là con đường để phát minh nhưng là một cách để tạo nên những ý tưởng và logic hạn chế ý tưởng.

Poincaré cũng hay đãng trí. Một lần ông mời một người bạn đến ăn trưa cùng mình, khi ông này đến thì thấy Poincaré đang đi lại trong phòng làm việc và chìm đắm trong suy nghĩ của mình. Biết bạn hay đãng trí nên ông không gọi mà ngồi ngoài hành lang chờ. Một lúc sau bỗng nhiên Poincaré từ trong phòng nói to ra: “Thưa ngài, ngài đang làm phiền tôi đấy!”.

Poincaré đã 51 lần được đề cử nhận giải Nobel vật lý, trong 12 năm, ông được đề cử 51 lần, trung bình mỗi năm có hơn 4 đề cử nhưng ông chưa một lần đoạt giải Nobel vì trong số những đóng góp của Poincaré cho vật lý, có những tư tưởng vượt quá xa thời đại, đến nỗi Uỷ ban Nobel cũng chưa thể đánh giá hết được ý nghĩa của nó, hoặc vì họ thận trọng không muốn mắc sai lầm. Thí dụ điển hình là Thuyết tương đối hẹp và Lý thuyết hỗn độn. Phải đợi tới những năm 1960 - 1970, lý thuyết này mới được xem như một lý thuyết khoa học hoàn toàn mới, nhưng nguyên lý cơ bản của nó thì đã được Poincaré khám phá ngay từ tháng 11 năm 1890, khi ông công bố lời giải của “Bài toán ba vật thể” trên tạp chí Acta Mathematica.

Hơn nữa, nếu không có Lý thuyết topo (Topology) của ông thì không biết toán học và vật lý học ngày nay sẽ ra sao. Trong lĩnh vực này, giả thuyết Poincaré đã sừng sững trong suốt một thế kỷ qua như một trong những thách thức lớn nhất đối với các nhà toán học, để mãi đến năm 2006 mới được giải quyết trọn vẹn bởi nhà toán học Grigori Perelman, và sự kiện này đã trở thành bước đột phá của khoa học năm 2006.

Không kể rất nhiều công trình nghiên cứu sâu sắc khác trong toán học và vật lý, chỉ riêng đóng góp của Poincaré đối với ba lý thuyết khổng lồ nói trên cũng đã quá đủ để nói lên tầm vóc khổng lồ của ông.

Nhưng sẽ là một thiếu sót lớn nếu nghĩ rằng “con quỷ toán học” chỉ nghiên cứu khoa học thuần túy: Poincaré đồng thời còn là một nhà triết học thâm thúy, một nhà tư tưởng có tầm nhìn xa trông rộng. Một sinh viên của Poincaré viết về thầy của mình: “Poincaré luôn kết thúc buổi giảng bằng những công thức đơn giản, được diễn giải bằng một thứ ngôn ngữ đầy hình ảnh đến nỗi buộc chúng tôi phải hiểu”. Nhận xét ngắn ngủi này phản ánh chính xác tư tưởng và tính cách của Poincaré: Đối với ông, toán học phải sinh động, giàu hình ảnh, đầy cảm nhận trực giác, mặc dù bề ngoài của nó là những ký hiệu và các phương trình. Ký hiệu hay phương trình chỉ là công cụ để thể hiện một tư tưởng, không được phép biến thành một thứ ngôn ngữ chết, một chuỗi suy diễn logic máy móc, vô hồn vô cảm. Điều này giải thích vì sao Poincaré quyết liệt chống đối chủ nghĩa toán học hình thức ngay từ buổi trứng nước của nó.

Đầu thế kỷ XX, bất chấp đa số các nhà toán học lao theo con đường do David Hilbert vạch ra, dồn mọi nỗ lực vào việc tìm kiếm “chiếc chén Thánh toán học” hòng biến toán học thành một hệ thống logic hình thức thuần tuý, hoàn toàn tách rời khỏi hiện thực, không đếm xỉa tới trực giác, Poincaré vẫn ung dung đi trên con đường riêng của mình và không ngừng cảnh báo chủ nghĩa hình thức về sai lầm của họ: “Nhà toán học xa rời thực tiễn giống như một hoạ sĩ bị tước đi vật mẫu”. Lời cảnh báo bất hủ ấy đã nhanh chóng được kiểm chứng:

Năm 1902, Bertrand Russell, một nhà tiên phong trong cuộc hành trình tìm kiếm “chiếc chén Thánh”, trớ trêu thay, lại khám phá ra một nghịch lý của chính logic hình thức. Nghịch lý Russell cho thấy chủ nghĩa logic hình thức giống như con rắn tự nuốt đuôi của mình. Không giấu được vẻ giễu cợt, Poincaré nói: “Cuối cùng thì chủ nghĩa logic cũng đã chứng minh được rằng nó không hoàn toàn vô ích. Rốt cuộc nó cũng sinh đẻ được, nhưng lại đẻ ra một nghịch lý”. Bất chấp sự khác biệt về lý tưởng toán học, Russell vẫn khẳng khái nhận định: “Poincaré là người có tài trí khoa học vĩ đại nhất thời đại”. Năm 1931, định lý Godel ra đời, xác nhận chủ nghĩa hình thức là một ảo tưởng, do đó Poincaré quả thật là người nhìn xa trông rộng!

Tuy nhiên, không phải mọi điều đã được hiểu đúng ngay từ những năm 1930. Bằng chứng là chủ nghĩa hình thức vẫn còn giương cao ngọn cờ “toán học mới” để tấn công ồ ạt vào hệ thống giáo dục phổ thông ở Tây phương những năm 1960. Phải đợi tới những thập kỷ cuối thế kỷ XX, mọi điều mới tỏ rõ, quả thật Poincaré sâu sắc. Ông đã viết một loạt tác phẩm: Khoa học và giả thuyết (năm 1902), Giá trị của khoa học (năm 1905), Khoa học và phương pháp (năm 1908) và Nhà bác học và nhà văn (năm 1910). Đó là những tác phẩm triết luận sâu sắc, hùng hồn, hấp dẫn, đến nỗi Poincaré được đánh giá như một nhà triết luận tài ba, và đã trở thành nhà khoa học đầu tiên được bầu vào Viện Hàn lâm Văn chương Pháp.

Có thể nói, Poincaré luôn luôn có mặt trên tuyến đầu của tất cả các cuộc cách mạng lớn nhất về nhận thức trong thế kỷ XX, từ “cuộc cách mạng về tương đối tính” đến cuộc cách mạng về bất định, ngẫu nhiên và hỗn độn: Lời giải Bài toán ba vật thể của Poincaré là ánh chớp đầu tiên báo hiệu cuộc cách mạng tư tưởng sâu sắc nhất sắp xảy ra trong thế kỷ XX - chủ nghĩa này cho rằng vũ trụ vận hành theo những quy luật xác định và tất yếu như một chiếc đồng hồ. Từ thế kỷ XVII trở về sau, chiếc đồng hồ ấy được mệnh danh là “chiếc đồng hồ Newton”, bởi vì với cơ học Newton, người ta có thể xác định được tương lai hoặc quá khứ của vũ trụ nếu biết rõ trạng thái của nó tại một thời điểm cho trước. Nhà toán học Pierre-Simon Laplace giải thích: “Chúng ta có thể coi trạng thái hiện tại của vũ trụ như hậu quả của quá khứ và là nguyên nhân của tương lai... và trước con mắt của một người trí thức, chẳng có gì là bất định cả, tương lai cũng như quá khứ sẽ chỉ là hiện tại mà thôi”. Đó là “Tất định luận Laplace” (Laplace’s determinism). Tất định luận này ăn sâu vào tâm trí các nhà khoa học đến nỗi Louis Lagrange, nhà toán học lỗi lạc cuối thế kỷ XVIII đầu thế kỷ XIX phải buồn rầu than thở: “Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì cho chúng ta làm nữa”. Dù cho vật lý thế kỷ XIX được bổ sung bởi lý thuyết điện từ của James Clerk Maxwell, nhưng lý thuyết này hoàn toàn nhất quán với cơ học Newton để tạo nên một hệ thống lý thuyết hoàn toàn xác định và chắc chắn, làm nền tảng cho mọi hiểu biết về vũ trụ, đến nỗi nhiều người nghĩ rằng khoa học đã tiệm cận tới những trang cuối cùng.

Tuy nhiên, cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, những tư tưởng hoàn toàn mới đã nảy mầm trên mọi lĩnh vực của nhận thức: Tư tưởng về cái bất định, bất toàn, ngẫu nhiên, hỗn độn - những cái không chắc chắn và không thể dự đoán trước. Nguyên lý bất định của Heisenberg trong cơ học lượng tử, ra đời năm 1921. Định lý bất toàn của Kurt Godel ra đời năm 1931, trừ một vài người thấy giật mình đến mức phải thay đổi định hướng nghiên cứu toán học, điển hình là John von Newman, còn đa số vẫn tiếp tục tôn thờ chủ nghĩa hình thức. Nhưng càng ngày người ta càng nhận thấy ý nghĩa vĩ đại của định lý này: Trong toán học tồn tại những mệnh đề không quyết định được - những mệnh đề không thể chứng minh và không thể bác bỏ. Hóa ra toán học cũng không tuyệt đối chắc chắn như người ta tưởng. Greg Chaitin sau này còn đi xa hơn khi chứng minh rằng yếu tố ngẫu nhiên và bất định nằm ngay trong nền tảng của số học.

So với nguyên lý bất định của Heisenberg và định lý bất toàn của Godel, tư tưởng về cái hỗn độn ra đời sớm hơn rất nhiều - ngay từ năm 1890 khi Poincaré công bố lời giải Bài toán ba vật thể, trong đó ông mô tả:

“Khi tôi cố gắng mô tả hình ảnh được tạo ra bởi hai đường cong này và vô số giao điểm của chúng,... những giao điểm này tạo nên một mạng lưới, một mớ lằng nhằng hoặc một cạm bẫy vô cùng rắc rối. Tôi hết sức kinh hoàng vì tính phức tạp của hình ảnh này đến nỗi tôi không cố sức để vẽ nó ra nữa”.

“Một nguyên nhân rất nhỏ mà chúng ta không nhận thấy có thể dẫn tới một hậu quả lớn đến mức không thể đoán trước, và vì thế chúng ta bảo rằng hậu quả này xảy ra do ngẫu nhiên... Có thể xảy ra trường hợp những khác biệt vô cùng nhỏ trong dữ kiện ban đầu dẫn tới những hậu quả vô cùng lớn trong hiện tượng sau cùng. Một sai lệch nhỏ ban đầu có thể gây ra một sai lệch khổng lồ trong kết quả. Dự đoán trở nên bất khả, và chúng ta có một hiện tượng ngẫu nhiên”.

Đó chính là tuyên ngôn mở đầu về những hiện tượng không thể dự đoán trước. Lần đầu tiên trong khoa học, bản chất ngẫu nhiên đã được đề cập. Lần đầu tiên tư tưởng tất định từng ngự trị trong hàng trăm năm trước, ít nhất kể từ thời Newton, đã bị nghi vấn. Đó là cuộc cách mạng đầu tiên về cái ngẫu nhiên, bất định, và hỗn độn trong thế kỷ XX.

Melvyn Bragg viết: Poincaré là “người tình cờ khám phá ra tính hỗn độn”, nhưng đó là sự tình cờ vĩ đại chỉ xảy ra ở những bộ óc vĩ đại! Năm 2000, Viện toán học Clay ở Mỹ nêu lên danh sách 7 bài toán khó nhất của thiên niên kỷ thứ hai (từ năm 1001-2000) và treo giải thưởng 1 triệu USD cho mỗi bài toán. Giả thuyết Poincaré (GP) do Poincaré nêu lên từ năm 1904 là một trong số 7 bài toán đó.

Năm 1912 Poincaré phải phẫu thuật tuyến tiền liệt và hậu quả là ông đã chết do tắc mạch máu vào ngày 17 tháng 7 năm 1912 tại Paris, lúc ông 58 tuổi. Ông được chôn cất tại hầm mộ của gia đình ở nghĩa trang Montparnasse, Paris.

Năm 2004, Claude Allègre - cựu Bộ trưởng Giáo dục Pháp - đã đề nghị Poincaré được chôn cất tại điện Panthéon ở Paris, nơi an táng của những người có cống hiến lớn cho nước Pháp.