G
rigori Yakovlevich Perelman sinh ngày 13 tháng 6 năm 1966, trong một gia đình Do thái tại Leningrad (nay là Sankt-Peterburg, Nga). Thời kỳ đầu, ông học tại trường Trung học Leningrad 239, một trường chuyên với chương trình khoa học và toán học cấp cao.
Từ năm 16 tuổi ông đã đoạt giải nhất kỳ thi Olympic toán học quốc tế tại Budapest năm 1982. Cô giáo dạy toán của Perelman tại trường 239, một trường toán nổi tiếng, là Tamara Yefimova nhớ lại: “Đó là một cậu học trò xuất sắc trong mọi môn học, ngoại trừ thể thao. Toán học quan trọng nhất với cậu ấy. Nhưng tôi không nói rằng cậu ấy sống khép kín hoặc có thái độ chống xã hội. Cậu ấy cũng có bạn bè và chơi vĩ cầm”.
Năm 1982, là một thành viên của đội Liên Xô trong Olympic Toán quốc tế, ông đoạt huy chương vàng với số điểm tuyệt đối. Cuối thập niên 1980, Perelman nhận bằng phó tiến sĩ tại Khoa toán - cơ Đại học Quốc gia Leningrad, một trong những đại học hàng đầu tại Liên Xô cũ. Luận án của ông có tên gọi “Các bề mặt yên ngựa trong các không gian Euclide”.
Sau khi tốt nghiệp, Perelman bắt đầu hoạt động tại chi nhánh Leningrad nổi tiếng của Viện Toán học Steklov thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, dưới sự hướng dẫn của Aleksandr Danilovich Aleksandrov và Yuri Dmitrievich Burago. Trong cuối thập niên 1980 và đầu thập niên 1990, Perelman giữ chức vụ tại một số đại học ở Mỹ. Năm 1992, ông được mời đến Viện Courant tại Đại học New York và Đại học tiểu bang New York ở Stony Brook một khóa. Từ đó, ông nhận học bổng nghiên cứu Miller hai năm tại Đại học California ở Berkeley năm 1993. Ông được mời làm việc tại một số trường hàng đầu ở Mỹ, trong đó có Princeton, Stanford, nhưng ông đã từ chối tất cả và trở về Viện Steklov vào mùa hè năm 1995.
Là một nhà toán học người Nga có nhiều đóng góp cho hình học Riemann và topo hình học, ông đã chứng minh giả thuyết hình học hóa của Thurston. Việc này đã giúp giải giả thuyết Poincaré, được đưa ra năm 1904 và được xem là một trong những bài toán hóc búa nhất. Giả thuyết Poincaré, do nhà toán học người Pháp Henri Poincaré đề xuất là vấn đề bỏ ngỏ nổi tiếng nhất trong topo. Bất kỳ đường vòng trên một mặt cầu trong ba chiều có thể co lại thành một điểm; giả thuyết Poincaré phỏng đoán rằng một đa tạp ba chiều đóng bất kỳ nơi đường vòng nào có thể co lại thành một điểm, thực sự chỉ là một mặt cầu ba chiều. Kết quả tương tự đã được biết là đúng trong các chiều bậc cao, nhưng trường hợp của đa tạp - ba hóa ra là khó nhằn hơn tất cả. Nói vắn tắt, điều này là do trong thao tác topo của đa tạp - ba, có quá ít chiều để tránh các “khu vực có vấn đề” mà không can thiệp với một cái gì đó khác.
Năm 1999, Viện Toán học Clay đã thông báo các vấn đề giải Thiên niên kỷ - giải thưởng trị giá 1 triệu đô la Mỹ cho lời chứng minh cho vài giả thuyết, bao gồm cả giả thuyết Poincaré. Có sự đồng thuận chung rằng lời chứng minh thành công sẽ tạo nên một sự kiện bước ngoặt trong lịch sử toán học.
Perelman đã đưa lên mạng bài báo 39 trang với nhan đề “Công thức entropy đối với dòng Ricci và những áp dụng của nó trong hình học” trên địa chỉ arxiv.org, một trang web chuyên dùng của các nhà toán học để giới thiệu các bài báo trước khi được công bố trên các tạp chí chuyên ngành.
Perelman đã biến đổi chương trình của Richard Hamilton để có chứng minh cho giả thuyết, trong đó ý tưởng trung tâm là khái niệm luồng Ricci. Ý tưởng cơ bản của Hamilton là phát biểu thành công thức một “quá trình động học” trong đó một đa tạp - ba đã cho bị biến dạng về mặt hình học, chẳng hạn quá trình biến dạng này bị chi phối bởi một phương trình vi phân tương tự như phương trình nhiệt. Phương trình nhiệt miêu tả trạng thái của các đại lượng vô hướng như nhiệt độ; nó đảm bảo rằng các tập trung của nhiệt độ nâng cao sẽ lan tỏa cho tới khi một nhiệt độ đồng nhất đạt được trong khắp vật thể. Tương tự, luồng Ricci miêu tả trạng thái của một đại lượng tensor là tensor độ cong Ricci. Hy vọng của Hamilton là dưới luồng Ricci, các tập trung của độ cong lớn sẽ lan tỏa cho đến khi một độ cong đồng nhất đạt được trên toàn bộ đa tạp - ba. Nếu như vậy, nếu người ta bắt đầu với đa tạp - ba bất kỳ và cho phép luồng Ricci xảy ra, cuối cùng người ta về nguyên tắc có thể thu được một loại “hình dạng thông thường”. Theo William Thurston, hình dạng thông thường này phải chiếm một trong một lượng nhỏ các khả năng, mỗi khả năng có một loại hình học khác biệt, gọi là hình học mô hình Thurston.
Ý tưởng của Hamilton đã thu hút một lượng lớn sự quan tâm, nhưng không ai có thể chứng minh rằng quá trình sẽ không bị cản trở bởi sự phát triển của các “điểm kỳ dị”, cho tới khi ấn bản điện tử của Perelman phác họa một chương trình để vượt qua các rào cản này. Theo Perelman, một sửa đổi của luồng Ricci chuẩn, gọi là luồng Ricci với phẫu thuật, có thể cắt xén có hệ thống các khu vực kỳ dị khi chúng phát triển, theo một cách có kiểm soát. Các điểm kỳ dị (bao gồm các điểm mà khái quát là xảy ra sau khi luồng đã tiếp tục trong một lượng thời gian hữu hạn) phải xảy ra trong nhiều trường hợp. Tuy nhiên, bất kỳ điểm kỳ dị nào phát triển trong một lượng thời gian hữu hạn về bản chất là một “sự bó chặt” dọc theo các mặt cầu nào đó tương ứng với phân hủy bậc nhất của đa tạp - ba. Ngoài ra, các điểm kỳ dị “thời gian hữu hạn” bất kỳ tạo ra từ các mảnh sụp đổ nào đó của phân hủy JSJ. Công trình của Perelman chứng minh tuyên bố này và vì vậy chứng minh giả thuyết hình học hóa.
Sau đó, Perelman gửi bản tóm tắt của bài báo đó theo email cho hơn 10 nhà toán học ở Mỹ. Trong bản tóm tắt đó ông đã giải thích rằng ông đã viết một bản phác thảo về “chứng minh có tính chiết trung” của giả thuyết hình học hóa. Perelman không nhắc gì đến chứng minh mà cũng không đưa nó cho ai xem. “Tôi không có những người bạn để bàn luận về chứng minh đó”, ông nói ở St. Peterburg. “Tôi không muốn thảo luận công trình của tôi với người mà tôi không tin cậy”.
Dư luận cho rằng việc Perelman đưa một giả thuyết nổi tiếng nhất trong toán học lên mạng là sự coi thường những quy ước trong học thuật, nhưng ông cũng đã phải chịu một sự mạo hiểm đáng kể. Nếu chứng minh là sai, ông sẽ bị sỉ nhục một cách công khai và không có cách nào để ngăn cản một nhà toán học khác tìm ra những sai sót và công bố chiến công của mình. Nhưng Perelman nói rằng ông hoàn toàn không quan tâm. “Lý luận của tôi là thế này: nếu tôi phạm sai lầm và có ai đó dùng công trình của tôi để xây dựng được một chứng minh đúng thì tôi cũng rất hài lòng”, ông nói. “Tôi không bao giờ phô trương là người duy nhất giải được bài toán Poincaré cả”.
Gang Tian (một nhà toán học người Hoa nhận được email của Perelman khi ông đang ở phòng làm việc của mình ở MIT (Học viện Công nghệ Massachusetts - Mỹ). Ông và Perelman đã rất thân thiện vào năm 1992, khi cả hai ở Đại học New York “Tôi ngay lập tức nhận thấy tầm quan trọng của nó”, Tian nói về bài báo của Perelman.
Thực tế cái mà Perelman đưa lên mạng chỉ là đợt đầu tiên, nhưng nó đủ để các nhà toán học thấy rằng ông đã hình dung ra phải giải bài toán Poincaré như thế nào. Perelman đã chứng minh rằng các “điếu xì gà” từng gây khó khăn cho Hamilton, có thể không thực sự xảy ra và ông cũng chứng tỏ được rằng bài toán “các cổ chai” cũng sẽ giải quyết được.
Tian đã viết thư cho Perelman đề nghị ông tới MIT giảng về bài báo của mình. Các đồng nghiệp ở Princeton và Stony Brook cũng đưa ra những lời mời tương tự. Perelman chấp nhận và đi một tháng thỉnh giảng bắt đầu từ tháng 4 năm 2003. Chuyến thỉnh giảng tháng 4 của Perelman được các nhà toán học và báo giới coi như một sự kiện lớn. Rất nhiều người ngồi nghe vô cùng ngạc nhiên khi không thấy Perelman nói gì về giả thuyết Poincaré cả.
Frank Quinn, một nhà toán học thuộc Virginia Tech, nói. “Ông bắt đầu từ một số điểm then chốt và những tính chất đặc biệt, rồi sau đó trả lời các câu hỏi. Ông đã xác lập được sự tin cậy”.
Giữa tháng 7 năm 2003, Perelman đã đưa lên mạng hai phần cuối cùng của chứng minh của mình và các nhà toán học bắt đầu kiểm tra các bước chứng minh của ông một cách hết sức thận trọng. Ở Mỹ ít nhất có tới hai nhóm chuyên gia nhận làm chuyện này: Gang Tian và John Morgan; và một cặp các nhà nghiên cứu ở Đại học Michigan. Cả hai dự án này đều nhận được sự hỗ trợ của Viện Clay. Viện này còn có ý định sẽ công bố công trình của Tian và Morgan dưới dạng một cuốn sách. Cuốn sách, ngoài việc hướng dẫn các nhà toán học khác theo dõi được logic của Perelman, nó còn là một căn cứ để xét xem có trao cho Perelman giải thưởng một triệu đô la của viện này vì đã giải được bài toán Poincaré hay không.
Tháng 8 năm 2006, Hội liên hiệp Toán học quốc tế tuyên bố trao Huy chương Fields cho ông nhưng Perelman đã từ chối giải và không có mặt tại hội nghị. Ngày 22 tháng 12 năm 2007, tạp chí Science đã công nhận chứng minh của ông cho giả thuyết Poincaré là “khám phá của năm”, sự công nhận đầu tiên cho lĩnh vực toán học. Ngày 18 tháng 3, Viện Toán học Clay tuyên bố ông hội đủ điều kiện để nhận giải Thiên niên kỷ đầu tiên trị giá 1 triệu USD chứng minh cho giả thuyết Poincaré.
John Ball, chủ tịch IMU, đã gặp Perelman tại Sankt Peterburg vào tháng 6 năm 2006 để thuyết phục ông nhận giải. Sau 10 giờ thuyết phục trong 2 ngày, ông đã chịu thua. Hai tuần sau, Perelman đã khái quát về cuộc đàm đạo là: “Ông ấy đã đề xuất với tôi ba phương án: chấp nhận và tới; chấp nhận và không tới, và sau đó chúng tôi sẽ gửi cho ông huân chương; thứ ba, tôi không chấp nhận giải. Ngay từ đầu, tôi đã nói với ông ấy rằng tôi đã chọn phương án ba... giải thưởng là hoàn toàn không thích hợp đối với tôi. Mọi người hiểu rằng nếu chứng minh là chính xác thì không sự công nhận nào khác là cần thiết.”
Ngày 22 tháng 8 năm 2006, người ta đã chính thức đề nghị trao tặng Perelman Huy chương Fields tại Hội nghị quốc tế các nhà toán học ở Madrid, “vì các đóng góp của ông cho hình học và các hiểu biết sâu sắc mang tính cách mạng của ông trong cấu trúc phân tích và hình học của luồng Ricci”. Ông đã không có mặt tại buổi lễ và từ chối nhận huân chương, trở thành người đầu tiên từ chối giải thưởng danh giá này.
Trước đó ông cũng đã bác bỏ một giải thưởng danh giá từ Hiệp hội Toán học châu Âu (EMS), và người ta cho rằng ông đã nói rằng ông cảm thấy ủy ban xét giải không đủ năng lực để đánh giá công trình của ông.
Ngày 18 tháng 3 năm 2010, Perelman đã được trao giải Thiên niên kỷ. Trước đó ông đã tuyên bố rằng “Tôi vẫn chưa quyết định có nhận giải hay không cho đến khi nó được đề xuất”. Ngày 8 tháng 6 năm 2010, ông không có mặt tại buổi lễ vinh danh ông tại Viện Hải dương học Paris để nhận phần thưởng trị giá 1 triệu đô la Mỹ. Theo hãng thông tấn Nga Interfax, Perelman đã từ chối nhận giải thưởng thiên niên kỷ vào đầu tháng 7 năm 2010. Ông coi quyết định của Viện Clay là không công bằng vì đã không chia sẻ giải thưởng với Richard Hamilton và tuyên bố rằng “lý do chính là sự bất đồng của tôi với cộng đồng toán học có tổ chức. Tôi không thích các quyết định của họ, tôi cho là họ không công bằng”.