Nhà toán học nổi tiếng thế kỷ XVIII

eonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707, là con của một mục sư tại Basel, Thụy Sĩ. Lúc nhỏ, ông đã tỏ ra có tài năng trong môn toán, nhưng cha ông muốn ông học giáo lý và trở thành một mục sư. Năm 1720 Euler bắt đầu học tại Đại học Basel. Tại đây ông được quen với Daniel và Nikolaus Berloulli, cả hai nhà toán học này đã nhận thấy tài năng toán học của ông. Cha của ông, Paul Euler, được mời tham dự một vài bài thuyết giảng toán học của Jakob Bernoulli và tỏ ra rất kính trọng Bernoulli. Vì thế, khi Daniel và Bernoulli xin cho Euler học môn toán, ông đã bằng lòng và từ đó Euler bắt đầu học toán.

Năm 1727 Euler được nữ hoàng Nga Ekaterina I mời đến Sankt Peterburg, trở thành giáo sư vật lý học năm 1730, và cũng dạy toán năm 1733. Euler là người đầu tiên xuất bản cuốn sách dạy cơ học năm 1736.

Ông là người đầu tiên sử dụng từ “hàm số” (được Gottfried Leibniz định nghĩa trong năm 1694) để miêu tả một biểu thức có chứa các đối số, như y = F(x). Ông cũng được xem là người đầu tiên dùng vi tích phân trong môn vật lý.

Năm 1733 ông kết hôn với Ekaterina (Katharina) Gsell, con gái của giám đốc viện Hàn lâm Nghệ thuật. Họ có 13 con, nhưng chỉ có ba người con trai và hai người con gái sống sót. Con cháu của họ giữ những vị trí quan trọng tại Nga trong thế kỷ XIX.

Năm 1741 Euler trở thành giám đốc viện toán tại viện Hàn lâm vương quốc Phổ ở Berlin. Ông viết rất nhiều trong thời gian ở Berlin, nhưng nhà vua không xem trọng ông. Vì thế, ông trở về Sankt Peterburg năm 1766, lúc đó là triều Ekaterina II, và sống ở đó cho đến khi mất.

Tuy bị mù hoàn toàn, ông vẫn viết được vì ông có trí nhớ phi thường và có thể dùng óc để tính toán. Có chuyện kể, có khi ông và người phụ tá của ông tính kết quả của một dãy số với 17 con số. Do đáp số của ông và của người phụ tá khác nhau nên phải tính lại, kết quả ông đã tính đúng! Sức làm việc của ông thật phi thường. Theo ước tính, một người phải làm việc 8 giờ một ngày trong suốt 50 năm mới có thể ghi chép hết tất cả các công trình của ông.

Mãi đến năm 1910, mới có một bộ sưu tập, gồm tất cả các công trình của ông trong 70 tập sách. Theo lời kể của Adrien-Marie Legendre, Euler thường hoàn thành một bài chứng minh trong khoảng thời gian chờ bữa cơm tối của mình.

Ngoài toán học, Euler cùng với Daniel Bernoulli đã hoàn thành định luật về lực xoắn trên một sợi dây chun mỏng tỷ lệ với độ đàn hồi của vật liệu và mô men quán tính của mặt cắt. Ông đồng thời cũng đưa ra phương trình Euler, một tập hợp các định luật chuyển động trong thủy động lực học, quan hệ trực tiếp với định luật chuyển động của Newton. Những phương trình này có dạng tương đương với các phương trình Navier-Stokes với độ nhớt bằng 0. Đó là một điều thú vị bởi chúng là nguyên nhân dẫn đến sự tồn tại của các sóng sốc.

Ông còn có đóng góp to lớn cho thuyết phương trình vi phân. Cụ thể, ông được biết đến nhiều với việc sáng tạo ra một chuỗi các phương pháp tính xấp xỉ, được sử dụng nhiều trong tính toán. Và phương pháp nổi tiếng nhất trong đó chính là phương pháp Euler.

Trong lý thuyết số ông đã sáng tạo ra hàm totient. Totient φ(n) của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Ví dụ φ(8) là 4 số 1, 3, 5, 7 đều là số nguyên tố nhỏ hơn 8.

Trong ngành giải tích, Euler đã tổng hợp hóa tích phân Leibniz với phương pháp tính Newton thành một dạng, gọi là vi phân.

Ông hoàn thành nền móng vào năm 1735 bằng việc giải quyết bài toán Basel, vấn đề đã tồn tại trong một thời gian dài. Ông còn đưa ra một biểu thức nổi tiếng trong toán học, là sợi dây liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm số lượng giác, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler: eiπ + 1 = 0 hay eiθ = cosθ + isinθ. Năm 1735, ông tìm ra hằng số Euler-Mascheroni, được sử dụng rất nhiều trong các phương trình vi phân.

Ông cũng là người cùng khám phá ra công thức Euler- Maclaurin, là một công cụ rất quan trọng trong việc tính toán các tích phân phức tạp, các tổng và chuỗi khó.

Trong hình học và topo đại số có một sợi dây liên kết chính là công thức Euler, ở đó liên hệ giữa các cạnh, đỉnh và mặt của một đa diện. Công thức tổng quát đó là: F - E + V = 2, ở đó F là số mặt, E là số cạnh và V là số đỉnh. Định lý này được áp dụng cho mọi đa diện lồi. Với các đồ thị không phẳng, có một biểu thức tổng quát. Nếu đồ thị có thể được nhúng vào trong một đa tạp M, thì F - E + V = X(M), ở đó X là đặc trưng Euler của đa tạp, một hằng số ở đó là bất biến với mọi biến dạng liên tục. Đặc trưng Euler của một đa tạp liên thông đơn giản là một hình cầu và một mặt phẳng là 2. Công thức tổng quát với một đồ thị phẳng là: F - E + V - C = 1, ở đó C số thành phần liên thông của đồ thị.

Năm 1736, Euler giải được bài toán nổi tiếng 7 chiếc cầu Königsberg, chính xác hơn, ông đã chứng minh được bài toán không có đáp số. Kết quả được công bố trên bài báo nhan đề Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, và đó chính là ứng dụng sớm nhất của lý thuyết đồ thị hay của topo học.

Suốt cuộc đời nghiên cứu khoa học của mình, Euler đã viết một khối lượng sách đồ sộ. Những tác phẩm nổi tiếng nhất của ông là:

- Nhập môn đại số. Cuốn sách về đại số căn bản này bắt đầu bằng một lời bàn luận về bản chất các con số và một lời giới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm các công thức dành cho cách giải phương trình đa thức.

- Nhập môn giải tích.

- Hai cuốn sách có ảnh hưởng về vi tích phân, phép tính tích phân (1768 - 1770).

- Nguyên lý chuyển động của chất lưu; trình bày phương trình liên tục và phương trình Euler.

Ông là nhà toán học nổi tiếng trong thế kỷ XVIII và đã suy ra nhiều kết quả cho môn vi tích phân mới được thành lập.

Có thể nói, các thành tựu về khoa học và toán học của Euler thật đáng ngạc nhiên. Ông viết 32 bộ sách dày, và hàng trăm tác phẩm từ hàng trăm bài báo về lĩnh vực toán học hay khoa học. Tuyển tập các tác phẩm viết về khoa học của ông gồm hơn 70 cuốn. Tài năng của Euler gần như chiếm lĩnh mọi khía cạnh của toán học ứng dụng và toán học thuần tuý, đóng góp của ông cho ngành vật lý toán học cũng có những ứng dụng vô cùng to lớn. Euler đặc biệt giỏi trong việc chứng minh những định luật chung của cơ khí đã được Newton hình thành trong thế kỷ trước, có thể ứng dụng vào một số tình huống vật lý thường gặp. Chẳng hạn như, bằng cách ứng dụng những định luật của Newton đối với chuyển động của chất lỏng, Euler có thể nghĩ ra phương trình thuỷ động lực học. Tương tự, bằng việc phân tích một cách kỹ lưỡng những chuyển động có thể có của một vật thể rắn, và bằng cách ứng dụng những nguyên tắc của Newton, Euler có thể phát triển các phương trình hoàn toàn xác định được chuyển động của một vật thể rắn. Tất nhiên, trên thực tế, không phải mọi vật thể đều hoàn toàn là chất rắn. Tuy nhiên, Euler còn có những đóng góp quan trọng đối với định luật đàn hồi, mô tả những vật rắn bị làm biến dạng như thế nào dưới tác dụng của những lực bên ngoài. Euler cũng ứng dụng tài năng của mình trong phân tích toán học về các vấn đề thuộc lĩnh vực thiên văn học, đặc biệt là vấn đề bộ ba thiên thể đề cập tới Mặt trời, Trái đất và Mặt trăng chuyển động dưới những lực hấp dẫn lẫn nhau như thế nào. Vấn đề đó - một vấn đề dành cho thế kỷ XXI, vẫn chưa được giải quyết. Một cách ngẫu nhiên, Euler là nhà khoa học xuất chúng duy nhất của thế kỷ XVIII đã ủng hộ thuyết sóng ánh sáng.

Khả năng phát kiến của Euler thường tạo cơ sở cho những phát minh toán học khiến những người khác trở nên nổi tiếng. Chẳng hạn như Joseph Louis Lagrange, nhà vật lý toán học người Pháp đã phát triển một chuỗi các phương trình (được gọi là phương trình Lagrance) có tầm quan trọng lớn về mặt lý thuyết và có thể được ứng dụng để giải quyết hàng loạt các vấn đề lớn trong cơ khí học. Tuy nhiên, phương trình cơ bản lại được Euler nghĩ ra đầu tiên và thường được biết tới như phương trình Euler - Lagrange. Nhà toán học người Pháp, Jean Baptiste Fourier, được cho là đã nghĩ ra thuật toán quan trọng được biết tới như là phép phân tích Fourier. Và các phương trình cơ bản đều do Leonhard Euler phát minh ra đầu tiên, được biết tới như là công thức Euler - Fourier. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong các phân môn khác nhau của khoa vật lý học, bao gồm âm học và lý thuyết điện từ.

Trong nghiên cứu toán học, Euler đặc biệt quan tâm tới các lĩnh vực tính toán, các phương trình vi phân và các chuỗi vô hạn. Những đóng góp của ông đối với phép toán của những biến phân và lý thuyết số tổ hợp là nền tảng cơ bản đối với sự phát triển sau này trong những lĩnh vực kể trên. Những phát kiến của Euler đối với hai lĩnh vực trên đã được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu khoa học, ngoài tầm quan trọng của chúng đối với lĩnh vực toán học tuần tuý.

Phương trình của Euler, e(i0) = cos 0 + i sin 0, chỉ ra mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác và các số ảo, được ứng dụng để tìm logarithm của các số âm. Đó là một trong những công thức được sử dụng rộng rãi nhất trong mọi lĩnh vực của toán học. Euler cũng viết một cuốn sách hình học phân tích, và có những đóng góp quan trọng cho hình học vi phân và hình học sơ cấp. Không những dễ dàng phát huy sở trường trong các phát minh toán học, Euler gần như cũng tinh thông trong lĩnh vực toán học thuần túy. Nhưng những đóng góp của ông về lĩnh vực lý thuyết số quá trừu tượng. Euler còn là người đi đầu trong lĩnh vực hình học topo, một phân môn toán học đã trở nên rất quan trọng trong thế kỷ XX. Công lao cuối cùng của Euler là đã có những đóng góp quan trọng cho hệ thống kí hiệu toán học của chúng ta hiện nay. Ông là người đã góp phần phổ biến rộng rãi việc sử dụng chữ cái Hy Lạp Pi để biểu thị tỷ lệ giữa chu vi của hình tròn và đường kính của nó. Ông cũng đưa ra nhiều kí hiệu tiện lợi khác mà giờ đây được sử dụng phổ biến trong các nghiên cứu toán học.

Tất cả những phát kiến của Euler cuối cùng cũng được hoàn thiện, thậm chí khi ông không còn trên cõi đời này. Chỉ cần điểm qua danh sách những cuốn sách toán học và vật lý học của Euler cũng đủ minh họa cho những đóng góp lớn của ông: Các góc Euler (chuyển động của các vật thể rắn); Hằng số Euler (chuỗi số vô hạn); Phương trình Euler (thủy động lực học); Phương trình chuyển động Euler (động lực học của vật thể rắn); Công thức Euler (biến số tổ hợp); Các con số Euler (chuỗi số vô hạn); Các đường cong đa giác Euler (các phương trình vi phân); Phép biến đổi Euler (chuỗi số vô hạn); Định luật Euler - Bernoulli (thuyết đàn hồi); Công thức Euler - Fourrier (chuỗi số lượng giác học); Phương trình Euler - Lagrace (phép tính các biến phân, cơ khí học); và Công thức Euler - Maclaurin (các phương pháp số) - đó là chỉ tính đến những công trình nghiên cứu điển hình nhất của ông.

Nhìn chung, các công trình của Euler đã đề cập đến hầu hết những lĩnh vực của toán học thời bấy giờ và đến nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác. Những phát kiến của ông được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực vật lý và trong nhiều lĩnh vực khác thuộc bộ môn cơ khí học. Cuộc đời Euler là một tấm gương sáng về tinh thần trách nhiệm và khả năng sáng tạo không ngừng, đối với ông, làm toán cũng tự nhiên và cần thiết cho đời sống như là hít thở khí trời vậy.

Sau khi ông mất, tên của ông đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt trăng và cho tiểu hành tinh 2002 Euler.