D
avid Hilbert sinh ngày 23 tháng 1, 1862 ở Wehlau, Đông Phổ, Göttingen, Đức, nay là Znamensk, gần Kaliningrad, Nga. Ông tốt nghiệp phổ thông trung học ở thành phố quê hương và đăng kí vào Đại học Königsberg. Ông nhận bằng tiến sĩ năm 1885, với một luận văn, viết dưới sự hướng dẫn của Ferdinand von Lindemann, với tựa đề “Về các tính chất bất biến của các dạng nhị phân đặc biệt, đặc biệt là các hàm vòng”.
Hilbert giữ cương vị giáo sư Đại học Königsberg từ 1886 đến năm 1895, là trưởng khoa Toán tại Đại học Göttingen, vào thời gian đó là trung tâm nghiên cứu toán học tốt nhất thế giới và ông làm việc ở đó cho đến cuối đời.
Công trình đầu tiên của Hilbert về các hàm bất biến năm 1888 là định lý hữu hạn nổi tiếng của ông. Hai mươi năm trước đó, Paul Gordan đã chứng minh định lý về sự hữu hạn của các phần tử phát sinh cho các dạng nhị phân sử dụng một tiếp cận tính toán phức tạp. Những cố gắng tổng quát hóa phương pháp của ông cho hàm số có trên hai biến thất bại vì những khó khăn trong các tính toán. Hilbert nhận ra cần phải đi theo một hướng hoàn toàn khác. Kết quả, ông đã đưa ra định lý Hilbert: chứng minh sự tồn tại của một tập hợp hữu hạn các phần tử phát sinh, với số lượng biến bất kỳ, nhưng dưới dạng trừu tượng. Nghĩa là, trong khi chứng minh sự tồn tại của một tập hợp như vậy, ông không sử dụng thuật toán mà chỉ đưa ra một định lý về sự tồn tại.
Hilbert gửi kết quả của mình cho tạp chí Mathematische Annalen. Gordan, chuyên gia lý thuyết bất biến của tạp chí Mathematische Annalen, đã không đánh giá cao bản chất có tính cách mạng của định lý Hilbert và từ chối không in bài báo, phê phán cách trình bày là không đủ chi tiết với lời nhận xét: “Đây là Thần học, không phải Toán học!”
Tuy nhiên nhà toán học Klein lại nhận ra tầm quan trọng của kết quả này, và bảo đảm bài báo sẽ được xuất bản mà không bị thay đổi gì. Được sự khuyến khích của Klein Hilbert, bài báo thứ hai đã mở rộng phương pháp của ông, đưa ra những đánh giá về bậc cao nhất của tập nhỏ nhất của các phần tử phát sinh, và ông một lần nữa lại gửi cho tạp chí Annalen. Sau khi đọc xong bản thảo, Klein viết thư trả lời: Không nghi ngờ gì đây là một trong những công trình quan trọng nhất về đại số nói chung mà tạp chí Annalen đã từng xuất bản.
Sau này, khi sự hữu dụng về phương pháp của Hilbert được công nhận rộng rãi, chính Gordan đã phải thừa nhận: Tôi phải thừa nhận là ngay cả thần học cũng có giá trị của nó.
Cuốn sách “Nền tảng của hình học” của ông xuất bản năm 1899 đưa ra một tập hợp chuẩn, bao gồm 21 tiên đề, thay cho các tiên đề Euclid truyền thống. Chúng tránh được những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclid, lúc đó vẫn được xem như sách giáo khoa.
Cách tiếp cận của Hilbert đánh dấu sự chuyển đổi sang hệ thống phương pháp tiên đề hiện đại. Các tiên đề không được xem như là sự thật hiển nhiên. Hình học có thể xử lý các đối tượng, về những thứ mà chúng ta có trực giác mạnh, nhưng không cần phải gán cho một nghĩa rõ ràng về những khái niệm chưa được định nghĩa.
Hilbert là người đầu tiên liệt kê các khái niệm chưa định nghĩa: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ giữa các điểm và các mặt phẳng, sự nằm giữa, sự đồng dạng giữa các cặp điểm, và sự đồng dạng giữa các góc. Những tiên đề này thống nhất cả hình học phẳng và hình học không gian của Euclid trong một hệ thống duy nhất.
Hilbert đã đưa ra một danh sách gồm 23 bài toán chưa giải được tại Đại hội Toán học thế giới ở Paris năm 1900. Danh sách này được nhìn nhận là một trong những tổng kết thành công và sâu sắc nhất của các bài toán chưa có lời giải tạo ra bởi chỉ cá nhân một nhà toán học.
Sau khi tái thiết lập các nền tảng của hình học cổ điển, Hilbert có thể làm tương tự cho phần còn lại của toán học. Tuy nhiên cách tiếp cận của ông khác với nhà “nền tảng học” Russell-Whitehead hay nhà “từ điển học” Nicolas Bourbaki sau này, và khác với nhà toán học đương thời Giuseppe Peano. Những bài toán này được đưa ra tại hội thảo "Những bài toán trong Toán học" trình bày trong Hội nghị toán học Quốc tế lần thứ 2 tổ chức tại Paris.
Có thể nói, danh sách các bài toán của Hilbert cũng là một dạng tuyên ngôn, mở ra con đường cho sự phát triển của trường phái hình thức hóa, một trong ba trường phái lớn của toán học trong thế kỷ XX. Theo những người thuộc trường phái hình thức hóa, toán học là một trò chơi với các kí hiệu bị làm mất đi ý nghĩa riêng theo những quy luật mang tính hình thức được quy ước trước. Do vậy, nó là một hoạt động độc lập của suy nghĩ.
Năm 1920, ông đề nghị một dự án nghiên cứu mà sau đó được biết đến như là chương trình Hilbert. Ông muốn toán học phải được hệ thống hóa trên một nền tảng logic vững chắc và đầy đủ. Ông tin rằng về nguyên tắc điều này có thể làm được bằng cách chứng minh rằng:
- Tất cả toán học có thể suy ra từ một hệ thống hữu hạn các tiên đề được chọn ra một cách đúng đắn.
- Một hệ thống tiên đề như vậy là có thể chứng minh được tính nhất quán của nó.
Chương trình này được công nhận là nổi tiếng nhất về triết học của toán học, nơi nó thường được gọi là hình thức hóa.
Vào khoảng 1909, Hilbert dành thời gian nghiên cứu phương trình vi phân và phương trình tích phân; các công trình của ông có những ảnh hưởng trực tiếp đến giải tích hàm hiện đại. Để tiến hành các nghiên cứu này, Hilbert đưa ra khái niệm không gian Euclid vô hạn chiều, sau này gọi là không gian Hilbert. Các công trình của ông trong phần này đã cung cấp những đóng góp quan trọng cho toán dùng trong vật lý cho hai mươi năm sau đó, dù theo một hướng không dự đoán trước. Sau này, Stefan Banach mở rộng khái niệm này, định nghĩa không gian Banach. Không gian Hilbert là một ý tưởng quan trọng trong lĩnh vực giải tích hàm phát triển xung quanh đó trong suốt thế kỷ XX.
Hilbert là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng rộng lớn nhất cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX. Ông nổi tiếng do phát minh hay phát triển một loạt các ý tưởng khác nhau, chẳng hạn như lý thuyết bất biến, tiên đề hóa hình học, và khái niệm không gian Hilbert, một trong những nền tảng của giải tích hàm. Hilbert và các học sinh của ông đã xây dựng đủ hạ tầng cơ sở toán học cần thiết cho cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng. Ông là một trong những sáng lập viên của lý thuyết chứng minh, logic toán học và phân biệt giữa toán học và meta-toán học.