J
oseph-Louis Lagrange sinh ngày 25 tháng 1 năm 1736 ở Turin, thuộc dòng dõi Pháp và Italia, xuất thân trong một gia đình người Pháp giàu có, và có quan hệ với giới quý tộc Italia.
Ông là nhà toán học và nhà thiên văn đã có những đóng góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực của giải tích toán học, lý thuyết số, cơ học cổ điển và cơ học thiên thể. Có thể nói ông là nhà toán học vĩ đại nhất của thế kỷ XVIII.
Trước khi tròn 20 tuổi ông đã là giáo sư hình học tại trường Pháo binh hoàng gia ở Torino. Năm 25 tuổi ông được công nhận là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất vì những bài báo của ông về sự lan truyền sóng và các điểm cực trị của các đường cong.
Năm 1772, Joseph Louis Lagrange nghiên cứu về vấn đề ba vật thể nổi tiếng khi ông khám phá ra một sự ngẫu nhiên trong các kết quả. Ban đầu, ông đã tìm ra một cách để dễ dàng tính toán sự tác động lẫn nhau về sức hút trọng lực giữa một số lượng các vật thể tùy ý trong hệ, bởi vì cơ học Newton kết luận rằng một hệ như vậy sẽ khiến cho các vật thể quay một cách hỗn loạn cho tới khi xảy ra một sự va chạm, hay một vật thể sẽ bị tống ra khỏi hệ vì thế sự thăng bằng sẽ diễn ra. Logic phía sau kết luận này là hệ với một vật thể là thông thường, vì nó chỉ có liên quan tương đối so với chính nó; một hệ với hai vật thể cũng dễ dàng giải quyết được, vì các vật thể bay trên quỹ đạo của chúng quanh một tâm trọng lực. Tuy nhiên, một khi có nhiều hơn hai vật thể trong hệ, những tính toán toán học trở nên rất phức tạp. Một tình huống xảy ra khi bạn không thể tính toán mọi sự tác động lẫn nhau giữa mọi vật thể nào ở mọi điểm dọc theo quỹ đạo của nó.
Tuy nhiên, Lagrange, muốn làm điều này trở nên đơn giản hơn. Ông đã làm việc đó với một kết luận đơn giản: “Quỹ đạo của một vật thể được quyết định bằng cách tìm ra một con đường làm giảm tối thiểu hoạt động theo thời gian.” Điều này được tìm ra khi trừ năng lượng tiềm tàng khỏi năng lượng động lực. Theo cách suy nghĩ như vậy, Lagrande tái lập cơ học của Newton để tạo ra Cơ học Lagrange. Với hệ thống tính toán mới của mình, công trình của Lagrange đưa ông tới lý thuyết tại sao một vật thể thứ ba với một khối lượng không đáng kể sẽ bay quanh hai vật thể chính vốn đã quay quanh lẫn nhau, những điểm đặc biệt trên quỹ đạo của nó sẽ là đứng yên so với các vật thể chính, các (hành tinh). Các điểm đó được gọi là “các điểm Lagrange” để vinh danh ông.
Trong một trường hợp thông thường hơn của các quỹ đạo hình elíp, không có các “điểm” đứng yên nếu xét theo cùng một nghĩa: nó trở thành một “vùng” Lagrange. Các điểm Lagrange tạo nên tại mỗi điểm trong thời gian cũng như trong trường hợp tròn đứng yên của các quỹ đạo elíp giống với quỹ đạo của các vật thể có khối lượng.
Điều này tuân theo Định luật số hai của Newton ( ). Khi p = mv (p là động lượng, m là khối lượng, và v là tốc độ) là bất biến nếu lực và vị trí tỷ lệ với nhau theo cùng nhân tố. Một vật thể ở điểm Lagrange quay với cùng khoảng thời gian so với hai vật thể có khối lượng lớn trong trường hợp tròn, ngụ ý rằng nó có cùng tỷ lệ về lực hấp dẫn so với khoảng cách. Sự thực này là độc lập với dáng tròn của các quỹ đạo, và nó cho ta thấy rằng các quỹ đạo elíp được tính ra từ các điểm Lagrange cũng là những đáp án của sự cân bằng chuyển động của vật thể thứ ba.
Ba điểm Lagrange đầu tiên về mặt kỹ thuật chỉ ổn định trên mặt phẳng vuông góc với đường nối hai vật thể. Điều này có thể dễ dàng quan sát thấy khi xem xét điểm L1. Một khối lượng thử nghiệm được đặt vuông góc với đường trung tâm sẽ bị một lực tác dụng đẩy nó ngược về hướng điểm thăng bằng. Điều này bởi vì các lực hấp dẫn của hai vật thể lớn tác dụng từ hai bên sẽ làm tăng cường độ lực này, trong khi hợp lực dọc theo trục giữa chúng sẽ làm cân bằng. Tuy nhiên, nếu một vật thể nằm tại điểm L1 gần một vật thể hơn, lực hấp dẫn từ vật thể đó sẽ mạnh hơn, và nó sẽ bị kéo lại gần hơn. (Mô hình này rất giống với mô hình các lực thủy triều.)
Dù các điểm L1, L2, và L3 trên danh nghĩa không ổn định, nhưng vẫn có thể tồn tại các quỹ đạo chu kỳ ổn định xung quanh các điểm đó, ít nhất trong giới hạn ba vật thể. Những quỹ đạo chu kỳ hoàn hảo này, được gọi là các quỹ đạo “halo”, không tồn tại trong một hệ thống vận động n-vật thể như hệ mặt trời. Tuy nhiên, các quỹ đạo Lissajous gần như chu kỳ (ví dụ có giới hạn nhưng không lặp lại chính xác hoàn toàn) thực sự có tồn tại trong hệ thống n-vật thể. Những quỹ đạo gần như chu kỳ đó là toàn bộ những điểm đu đưa mà các chương trình vũ trụ của con người sử dụng từ trước tới nay. Dù chúng không ổn định một cách hoàn hảo, nhưng một lực khá nhỏ đã là đủ để giữ ổn định tàu vũ trụ trên một quỹ đạo Lissajous trong một khoảng thời gian dài. Một điều hiển nhiên khác, ít nhất đối với các chương trình vũ trụ sử dụng điểm L1 của hệ mặt trời - trái đất, đặt tàu trên quỹ đạo Lissajous độ cao lớn (100.000 - 200.000 km) thay vì tại điểm đu đưa sẽ có lợi thế hơn bởi vì việc này giúp tàu tránh khỏi đường thẳng trực tiếp mặt trời - trái đất và do đó giảm hiệu ứng nhiễu mặt trời đối với kênh thông tin liên lạc giữa tàu và trái đất. Một lợi thế khác của các điểm đu đưa cộng tuyến và các quỹ đạo Lissajous kết hợp với các điểm này là chúng như những “cửa ngõ” kiểm soát các quỹ đạo hỗn loạn của mạng lưới giao thông liên hành tinh.
Trái với các điểm đu đưa cộng tuyến, các điểm tam giác (L4 và L5) có độ cân bằng ổn định (cf. attractor), khi tỷ lệ các khối lượng M1/M2 là > 24.96. Đây là trường hợp của hệ thống mặt trời/trái đất và trái đất/mặt trăng, dù ở trường hợp trái đất/mặt trăng tỷ lệ có nhỏ hơn. Khi một vật thể tại các điểm đó bất ổn định, nó sẽ dời chỗ, nhưng hiệu ứng Coriolis sẽ hoạt động, và đẩy đường đi vật thể vào một quỹ đạo ổn định, hình hạt đậu xung quanh điểm đó.
Trong hệ mặt trời - sao Mộc có hàng ngàn tiểu hành tinh, thường được gọi là các tiểu hành tinh Trojan, nằm trên các quỹ đạo xung quanh các điểm L4 và L5 của hệ. Ta cũng có thể thấy các vật thể khác trong hệ mặt trời - sao Thổ, mặt trời - sao Hỏa, sao Mộc - vệ tinh Jovian, và sao Thổ-hệ thống vệ tinh Sao Thổ. Chúng ta chưa phát hiện thấy các vật thể lớn tại các điểm Trojan của hệ mặt trời - trái đất, nhưng các đám mây bụi bao quanh các điểm L4 và L5 đã được phát hiện trong thập kỷ 1950. Các đám mây bụi, được gọi là các đám mây Kordylewski, thậm chí còn mờ nhạt hơn cả Gegenschein, chúng cũng hiện diện tại các điểm L4 và L5 của hệ trái đất - mặt trăng.
Mặt trăng Tethys của sao Thổ có hai mặt trăng nhỏ tại các điểm L4 và L5 của nó, là Telesto và Calypso. Mặt trăng Dione của sao Thổ cũng có hai mặt trăng cùng quỹ đạo là Helene tại điểm L4 và Polydeuces tại điểm L5. Các mặt trăng lang thang theo góc phương vị quanh các điểm Lagrange, và Polydeuces có độ lệch hướng lớn nhất, lên tới 32 độ từ điểm L5 của hệ sao Thổ - Dione. Tethys và Dione có khối lượng gấp hàng trăm lần so với những vật thể “hộ tống” của nó (xem các bài viết về mặt trăng để có con số kích thước chính xác; trong nhiều trường hợp không có các con số khối lượng), và sao Thổ còn có khối lượng lớn hơn nữa, giúp toàn hệ thống được ổn định.
Vật thể cùng đôi với trái đất, 3753 Cruithne, nằm trên một quỹ đạo Trojan quanh trái đất, nhưng không thực sự như một Trojan. Trái lại, nó chiếm một trong hai quỹ đạo đều quanh mặt trời, theo chu kỳ thay đổi từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác khi đụng độ gần với trái đất. Khi tiểu hành tinh áp sát trái đất, nó nhận được năng lượng quỹ đạo từ trái đất và di chuyển sang một quỹ đạo cao, lớn hơn và có năng lượng nhiều hơn. Một thời gian sau, trái đất đuổi kịp tiểu hành tinh (đang có quỹ đạo lớn và chậm hơn), khi ấy trái đất lấy lại năng lượng và vì thế tiểu hành tinh lại rơi vào một quỹ đạo nhỏ và nhanh hơn và cuối cùng lại đuổi kịp trái đất để bắt đầu một chu kỳ mới. Điều này không gây ảnh hưởng có thể nhận thấy trên chiều dài năm của trái đất, bởi vì khối lượng Trái đất lớn gấp hơn 20 tỷ lần khối lượng 3753 Cruithne.
Epimetheus và Janus là các vệ tinh của sao Thổ và cũng có mối quan hệ tương tự như vậy, dù chúng có khối lượng khác nhau và thay đổi quỹ đạo cho nhau theo chu kỳ. (Janus có khối lượng lớn gấp 4 lần, nhưng vẫn đủ nhẹ để bị ảnh hưởng làm thay đổi quỹ đạo.) Một ví dụ tương tự khác là cộng hưởng quỹ đạo, theo đó các vật thể quỹ đạo thường có xu hướng có các chu kỳ tỷ lệ nguyên, vì sự tương tác giữa chúng.
Về mặt toán học, Lagrange đã đưa ra hai định lý: Định lý Lagrange (lý thuyết nhóm) và Định lý Lagrange (lý thuyết số). Trong lý thuyết nhóm, định lý Lagrange phát biểu rằng: nếu H là nhóm con của nhóm hữu hạn G, thì cấp (số phần tử) của G chia hết cho cấp của H. Định lý này được sử dụng để chứng minh định lý Fermat nhỏ trong lý thuyết số và định lý tổng quát của nó định lý Euler. Ngoài ra định lý còn được dùng để kiểm tra sự tồn tại một nhóm con của một nhóm hữu hạn.
Lagrange không chứng minh định lý trên. Ông chỉ chứng minh mệnh đề sau: số các đa thức n biến khác nhau, nhận được bằng cách hoán đổi vị trí các biến từ một đa thức cho trước, luôn là ước số của n!. (n! = 1.2.3...n là số các hoán vị n phần tử). Sau này mệnh đề của Lagrange về số các đa thức được tổng quát trên nhóm và được phát biểu thành định lý mà ngày nay mang tên ông.
Lagrange nổi tiếng là nhà toán học vĩ đại nhất châu Âu. Vì thế, năm 1766, theo sự tiến cử của Euler và D’Alembert, vua Frederick đệ nhất đã mời ông đến triều đình.Với sự đảm bảo của Leonhard Euler và Jean le Rond d'Alembert, Lagrange trở thành Viện trưởng Viện hàn lâm Khoa học Phổ, Berlin.
Năm 1786, khi Frederick qua đời, ông rời khởi Prussia vì được vua Louis XVI mời đến Paris. Dưới Đế chế Pháp đệ nhất, ông được phong nghị sỹ và bá tước.
Khi mất, ông được chôn cất trong điện Panthéon tại Paris.