L
obachevsky sinh năm 1792 tại Nizhli, Novogorot trong một gia đình công chức nhỏ. Ông là một nhà toán học đã có công rất lớn trong việc xây dựng hình học phi Euclide, một bước phát triển mới thoát ra khỏi hình học cổ điển, tạo cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối rộng sau này.
Cha Lobachevsky - Ivan Maksimovich Lobachevsky là thư ký của một văn phòng luật, mẹ là Praskovia Alexandrovna Lobachevskaya. Người cha mất năm 1800, sau đó, người mẹ cùng Lobachevsky đến Kazan. Tại đó, ông theo học trường Kazan Gymnasium, tốt nghiệp năm 1807 và sau đó là trường Đại học Kazan.
Tại đây, ông được tiếp xúc với Martin Bartels (1769-1833), bạn của Carl Friedrich Gauss. Năm 1811, ông nhận được chứng chỉ vật lý và toán học của trường Đại học tổng hợp Kazan. Năm 1814, ông bắt đầu công việc giảng dạy và năm 1822, chính thức trở thành giảng viên trường đại học tổng hợp Kazan. Năm 1818, ông được mời làm Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Kazan. Ông đã từng giữ nhiều chức trách khác nhau của trường cho đến năm 1846.
Lobachevsky thường làm việc hết mình không nề hà bất cứ công việc gì. Ông được nhà toán học Gauss mời làm Viện sĩ nước ngoài Viện Hàn lâm Khoa học Gottingen. Mặc dù ông được giới bác học nước ngoài tôn trọng nhưng lại bị chính quyền địa phương ghét bỏ, vì vậy ông sớm bị cách chức, sức khỏe bị giảm sút do làm việc quá sức. Cuối cùng ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép quyển Pangeometrrie nổi tiếng trong lịch sử hình học thế giới.
Ông là nhà toán học vĩ đại của Nga, sáng lập ra hình học trái với hình học Euclid, truyền bá những quan điểm duy vật chủ nghĩa về toán học và những nguyên lý của toán học. Năm 1811, sau khi tốt nghiệp đại học, ông được tặng danh hiệu thạc sĩ toán học. Năm 23 tuổi ông trở thành giáo sư. Lobachevsky đã cống hiến tất cả đời mình cho trường Đại học Kazan mà ông là giám đốc suốt 19 năm. Truyền bá tư tưởng tiến bộ trong việc giáo dục thanh niên, ông là một nhân vật ưu tú nhất trong ngành giáo dục đại học. Những thành tích của ông trong ngành giáo dục ở Nga rất lớn, nhưng chính sự phát hiện ra hình học trái với hình học Euclid đã khiến ông nổi tiếng. Khi chứng minh rằng có thể có một hình học khác với hình học Euclid, ông là người đầu tiên sáng tạo ra một hệ thống logic hoàn thiện của hình học mới ấy.
Suốt hơn 2.000 năm, các tư tưởng hình học đều xuất phát từ lý luận do Euclid xây dựng trong tác phẩm “Nguyên lý hình học”. Hình học Euclid dựa trên một số nguyên lý. Nhưng ngay từ thời thượng cổ, các nhà toán học đã nhận thấy nguyên lý về đường thẳng song song (gọi là nguyên lý thứ 11 hay là định lý thứ năm của Euclid) cũng không rõ ràng như các nguyên lý khác. Nguyên lý đó quy định rằng từ một điểm ở ngoài một đường thẳng, người ta chỉ có thể kẻ trên cùng một mặt phẳng một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Nhiều nhà hình học đã cố gắng suy diễn từ nguyên lý đó ra những nguyên lý khác, nhưng đều vô ích. Lobachevsky đưa ra một ý kiến táo bạo, cho rằng không thể từ nguyên lý ấy mà suy diễn ra những nguyên lý khác được, rằng nguyên lý ấy là một nguyên lý độc lập. Ông xuất phát từ ý muốn liên hệ các nguyên lý cơ sở của hình học với các đặc tính của các vật thể vật chất. Khi thừa nhận là có thể từ một điểm, trong cùng một mặt phẳng, kẻ ít nhất là hai đường thẳng song song với một đường thẳng nhất định, ông đã tìm ra được một hệ thống hình học độc đáo, nhưng nghiêm chỉnh và không có mâu thuẫn nội tại. Hệ thống đó được gọi là hình học Lobachevsky. Trong hình học này, tổng số các góc của một tam giác không phải bằng 1800 như trong hình học Euclid mà bao giờ cũng ít hơn, và từ một điểm ở ngoài một đường thẳng người ta có thể kẻ nhiều đường thẳng song song với đường thẳng ấy. Dù sự mới mẻ và tính độc đáo của sự phát hiện đó đã đập tan những truyền thống khoa học cổ truyền nhưng không làm cho Lobachevsky sợ hãi. Năm 1826, ông trình bày miệng những ý kiến của mình, năm 1829 và những năm sau, ông xuất bản thành sách, do đó đã giành được quyền ưu tiên không ai chối cãi được trong việc phát hiện ra hình học trái với hình học Euclid. Những tư tưởng sâu sắc của ông không được người đương thời hiểu rõ. Phải đợi 50 năm sau, những tư tưởng đó mới thâm nhập và trở thành một bộ phận cấu thành của toán học, làm cho toán học thời kỳ sau có một bước ngoặt.
Lúc đầu, định luật bất hủ của ông chỉ được một vị giáo sư cùng trường Kazan công nhận. Khoảng 10 năm sau, khi nhà bác học đó mất, người ta đã chứng minh những nguyên lý về trắc diện học của ông là đúng trên một số mặt cong (gọi là mặt giả cầu). Giả thuyết của ông cho rằng hình học Euclid không phải là hình học duy nhất trong không gian, đã hoàn toàn được chứng thực. Hình học Lobachevsky cũng vậy, không phải là hình học duy nhất trái với hình học Euclid nếu người ta không tự hạn chế chỉ nghiên cứu một vật rắn trong không gian vô hạn. Như thế là sự phát hiện của Lobachevsky đã chứng minh rằng hình học Euclid chỉ là một trong những hình học có thể có được và nó chỉ đúng chừng nào chúng ta nghiên cứu trong phạm vi những quảng tính thông thường. Hình học phi Euclid đã được áp dụng nhiều trong các ngành toán học khác. Nó đóng một vai trò quan trọng trong vật lý học hiện đại; nếu không có hình học phi Euclid, thì chủ nghĩa tương đối sẽ không thể có được.
Lobachevsky có một thế giới quan duy vật chủ nghĩa. Trong các tác phẩm toán học và trong việc giảng dạy môn khoa học đó, ông luôn luôn chú ý nói rõ bản chất thật của các khái niệm làm cơ sở cho khoa học. Cảm giác luận của ông có tính chất duy vật chủ nghĩa rõ rệt. Đối với ông, thế giới bên ngoài là thế giới khách quan, những khái niệm của chúng ta về thế giới ấy là kết quả của sự tác động của thế giới hiện thực vào ý thức con người thông qua giác quan và cảm giác. Chính vì thế nên “phải lấy hết thảy mọi khái niệm bất cứ là khái niệm nào do tự nhiên đem lại, làm cơ sở cho toán học...”. Ý kiến của ông về quan hệ giữa lý luận và thực tiễn có một khuynh hướng duy vật chủ nghĩa rõ rệt. Đối với ông, thực nghiệm và thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý. Ông cho rằng một hình học không có mâu thuẫn về mặt logic, như thế cũng chưa đủ để được thừa nhận là hình học chính xác. Ông đòi hỏi nó phải được thực tiễn chứng minh là nhất trí với những liên hệ thực tồn tại trong không gian vật lý. Trong khi làm lung lay cơ sở, “không thể lay chuyển” của hình học Euclid ông đã đánh một đòn nặng vào triết học Căng là triết học coi các chân lý hình học không phải là kết quả của kinh nghiệm của con người, mà là những hình thức bẩm sinh (tiên thiên) của ý thức. Ông không ngừng nhấn mạnh rằng những mưu toan nhằm chỉ dùng lý tính mà suy luận ra toán học, đều vô ích. Ông cũng đấu tranh nhiệt tình như vậy khi chống chủ nghĩa hình thức trong toán học, tức chủ nghĩa làm cho toán học và các khái niệm của nó mất hết nội dung thật và coi các dấu hiệu và các phép toán trong toán học chỉ là một trò chơi đơn giản bằng dấu hiệu mà thôi.
Ngày nay, cuộc đấu tranh mà ông đã tiến hành, vẫn còn nguyên ý nghĩa hiện thực của nó, vì chủ nghĩa hình thức đang nảy nở mạnh trong khoa học tư sản. Ý nghĩa tiến bộ của những tư tưởng vĩ đại của ông là ở chỗ sự phát hiện của ông đã mở rộng giới hạn của hình học và giúp cho hình học đi vào con đường phát triển rộng rãi. Tính chất duy vật chủ nghĩa của các nguyên lý cơ sở của ông, ý của ông muốn làm sáng tỏ nội dung duy vật chủ nghĩa của các khái niệm toán học, muốn vạch rõ sự liên hệ giữa hình học và đặc tính của thế giới hiện thực đã làm cho ông trở thành một trong những nhà tư tưởng ưu tú nhất của thế kỷ XIX.
Dù phát minh ra hình học mới xây dựng dựa trên cơ sở phủ định tiên đề 5 của Euclid của ông không được các nhà toán học đương thời hiểu và chấp nhận nhưng ông vẫn đeo đuổi chân lý tới cùng! Cho đến năm 1840, Gauss mới công nhận sự thành công của phát minh của Lobachevsky và từ đó các nhà toán học trên thế giới gọi hình học của ông là hình học ảo.
Ngày nay hình học Lobachevsky rất thực vì trong những chuyến du hành vũ trụ dài ngày cũng như trong tương lai, việc tính toán phải dựa trên cơ sở không gian Lobatchevsky. Có thể nói, hình học của ông dùng trong không gian rộng lớn còn hình học của Euclid dùng trong không gian nhỏ hẹp. Tuy vậy hai dạng hình học này không mâu thuẫn mà là bổ sung cho nhau.
Toàn bộ sáng tạo của ông được đúc kết trong một số tác phẩm:
- Cơ sở hình học (1830)
- Hình học ảo (1837).
- Cơ sở mới của hình học (1838).
- Khảo cứu mới về lý thuyết đường song song (1840).
- Panego'me'trie.